Polinomio caratteristico di una matrice 4x4
data la seguente matrice:
$A=( ( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) )$ devo calcolare gli autospazi. (premetto che gli autovalori devono essere 0 e -2)
comincio facendo il polinomio caratteristico (noto che A ha rango 2, quindi deve risultare 0 come autovalore di molteplicità 2) della matrice.
$p_A(t)= det(A-tI_4) = | ( -1-t , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1-t , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1-t , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-t ) | =$ (sviluppo di Laplace secondo la prima riga) $= (-1-t)|(-1-t , 0 , 1),(0 , -1-t , 0),(1 , 0 , -1-t)|+(1)|(0 , -1-t , 1),(1 , 0 , 0),(0 , 1 , -1-t)| =$ (sviluppo il primo minore secondo la 2° riga, e il secondo minore secondo la 1° colonna) $ =(-1-t)(-1-t)[(-1-t)^2-1]+(1)(1)[(-1-t)^2-1] =t^4+4t^3+2t^2+8t $ che non ha -2 come radice (non sono neanche sicuro che ne abbia di radici reali, ma dopo aver provato a fattorizzare 3 volte con ruffini mi sono fermato).
In ogni caso ho scritto volutamente i passaggi in modo che qualche buona anima possa dirmi se sbaglio nei calcoli oppure se il mio è un errore di concetto. Qualunque aiuto è ben accetto.
$A=( ( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) )$ devo calcolare gli autospazi. (premetto che gli autovalori devono essere 0 e -2)
comincio facendo il polinomio caratteristico (noto che A ha rango 2, quindi deve risultare 0 come autovalore di molteplicità 2) della matrice.
$p_A(t)= det(A-tI_4) = | ( -1-t , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1-t , 0 , 1 ),( 1 , 0 , -1-t , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-t ) | =$ (sviluppo di Laplace secondo la prima riga) $= (-1-t)|(-1-t , 0 , 1),(0 , -1-t , 0),(1 , 0 , -1-t)|+(1)|(0 , -1-t , 1),(1 , 0 , 0),(0 , 1 , -1-t)| =$ (sviluppo il primo minore secondo la 2° riga, e il secondo minore secondo la 1° colonna) $ =(-1-t)(-1-t)[(-1-t)^2-1]+(1)(1)[(-1-t)^2-1] =t^4+4t^3+2t^2+8t $ che non ha -2 come radice (non sono neanche sicuro che ne abbia di radici reali, ma dopo aver provato a fattorizzare 3 volte con ruffini mi sono fermato).
In ogni caso ho scritto volutamente i passaggi in modo che qualche buona anima possa dirmi se sbaglio nei calcoli oppure se il mio è un errore di concetto. Qualunque aiuto è ben accetto.
Risposte
non ho controllato i calcoli, però se raccogli $t$ hai una soluzione per $t=0$ e poi ti rimane da risolvere $t^3+4t^2+2t+8$
si, ho provato a fare anche così, ma fattorizzando con ruffini il polinomio di terzo grado non vengono lo stesso le soluzioni cercate. (le molteplicità di 0 e di -2 devono essere entrambe 2)
per questo dico che secondo me ci sono problemi nei calcoli; poi può anche essere che usi un procedimento sbagliato ma ho controllato da più fonti e tutte lo fanno in questo modo.
Grazie comunque per il consiglio.
per questo dico che secondo me ci sono problemi nei calcoli; poi può anche essere che usi un procedimento sbagliato ma ho controllato da più fonti e tutte lo fanno in questo modo.
Grazie comunque per il consiglio.
Ciao, ho provato a svolgere i calcoli:
fai lo sviluppo rispetto alla prima colonna e ti rimangono da calcolare due determinanti 3*3.
il primo lo svolgi rispetto alla seconda colonna(RICORDATI I SEGNI
), come anche il secondo (la colonna dovrebbe essere 1 0 0 )
poi svolgendo i conti e raccogliendo ottieni che (t^2+2*t)^2=0 da cui ricavi le tue due soluzioni. scusami ma nn so come si fanno le matrici qui
spero ti torni tutto...ciao ciao
fai lo sviluppo rispetto alla prima colonna e ti rimangono da calcolare due determinanti 3*3.
il primo lo svolgi rispetto alla seconda colonna(RICORDATI I SEGNI
), come anche il secondo (la colonna dovrebbe essere 1 0 0 )poi svolgendo i conti e raccogliendo ottieni che (t^2+2*t)^2=0 da cui ricavi le tue due soluzioni. scusami ma nn so come si fanno le matrici qui
spero ti torni tutto...ciao ciao
Rileggendo il tuo post ho visto che sei arrivato anche te alla soluzione...invece di svolgere tutti i calcoli in fondo prova a raccogliere...spero sia corretto e di nn aver fatto errori di calcolo
Non ho idea del perchè, ma con gli sviluppi che mi hai detto te viene perfetto... 
In effetti è parecchio strano, perchè con Laplace le righe e le colonne possono essere prese in modo arbitrario se non ricordo male....
Con i miei sviluppi, anche raccogliendo non verranno mai le radici corrette (insomma, risulta un polinomio con radici diverse), e sono davvero preoccupato di questo, perchè consideravo laplace come un metodo universale...
Comunque grazie a te ora il problema è risolto, vorrei solo capire cosa sbagliavo all'inizio.
(N.B.: se invece di "risposta veloce" clikki su "rispondi", ti carica la pagina per inserire un messaggio nella discussione, come quella per creare un nuovo post; sulla colonna di sinistra c'è il tasto "formula", se ci clikki sopra ti si apre una form che serve proprio a mostrarti il codice da inserire nel messaggio per inserire tutti i simboli matematici, operatori, matrici, ecc ecc. RICORDA DI METTERE I SIMBOLI del dollaro quando usi qualche formula o simbolo in apertura e in chiusura.) spero di essere stato chiaro
In effetti è parecchio strano, perchè con Laplace le righe e le colonne possono essere prese in modo arbitrario se non ricordo male.... Con i miei sviluppi, anche raccogliendo non verranno mai le radici corrette (insomma, risulta un polinomio con radici diverse), e sono davvero preoccupato di questo, perchè consideravo laplace come un metodo universale...
Comunque grazie a te ora il problema è risolto, vorrei solo capire cosa sbagliavo all'inizio.
(N.B.: se invece di "risposta veloce" clikki su "rispondi", ti carica la pagina per inserire un messaggio nella discussione, come quella per creare un nuovo post; sulla colonna di sinistra c'è il tasto "formula", se ci clikki sopra ti si apre una form che serve proprio a mostrarti il codice da inserire nel messaggio per inserire tutti i simboli matematici, operatori, matrici, ecc ecc. RICORDA DI METTERE I SIMBOLI del dollaro quando usi qualche formula o simbolo in apertura e in chiusura.) spero di essere stato chiaro
De nada...grazie a te per avermi detto come si scrivono le matrici
Comunque veniva anche a te xke sei arrivato in fondo con lo stesso polinomio che veniva a me, solamente invece di raccogliere hai svolto subito i calcoli, che a volte non è il metodo migliore.
Ciaoooo
Comunque veniva anche a te xke sei arrivato in fondo con lo stesso polinomio che veniva a me, solamente invece di raccogliere hai svolto subito i calcoli, che a volte non è il metodo migliore.
Ciaoooo
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