Polinomio caratteristico di una forma quadratica lineare??

[AlexMAT1]

Buonasera gente sto impazzendo cercando di trovare il polinomio caratteristico di questa forma quadratica:
\(\displaystyle q(u)= x^2+4y^2+9z^2-4xy+6xz-12yz \)
Dalla quale possiamo ottenere la matrice di Gram:
$ G=( ( 1 , -2 , 3 ),( -2 , 4 , -6 ),( 3 , -6 , 9 ) ) $
Ora devo calcolarmi:
$ p(f)=| ( 1 - t , -2 , 3 ),( -2 , 4 - t , -6 ),( 3 , -6 , 9 - t ) | $

Ecco che nascono i primi problemi, risolvendo utilizzando lo sviluppo di Laplace mi trovo due autovalori $ Spec(f)= {0, 14} $. Però c'è qualcosa che non mi torna, sono convinto di sbagliare qualcosa nello sviluppare Laplace. Qualcuno mi sa dire se questi due autovalori trovati sono corretti?? Grazie anticipatamente per le risposte

[stefansson]

Ciao,
la risposta dovrebbe essere corretta.
Nota che -prima di mettersi a fare calcoli- la matrice ha rango 1, quindi la dimensione del nucleo è 2.
Inoltre la matrice è simmetrica quindi riusciremo a trovare autovalori reali tali che la somma delle molteplicità algebriche sia 3. Poichè la dimensione del nucleo è 2, gli autovalori saranno per forza 0 (con molteplicità 2) e un altro, positivo, in quanto la forma quadratica altro non è che $(x-2y+3z)^2$ (--> semidefinita positiva).
Il polinomio caratteristico viene $t^2(14-t)$ --> gli autovalori sono esattamente quelli che hai scritto te, perfettamente in accordo con le previsioni!
Spero di esser stato chiaro!

[AlexMAT1]

Ok grazie Stefanson spiegazione molto chiara e alla fine sono riuscito a risolvere gli esercizi