Polinomio caratteristico

[_Armata_Rossa_1]

Ciao a tutti, ci sto dietro da ieri quindi chiedo a voi, ho trovato il determinante di una matrice per il calcolo del polinomio, il determinante è questo: x^4 - 2x^3 -3x^2 +4x +4
Ora per trovare le molteplicità algebrica bisogna scomporre e nelle soluzioni ho (x+1)^2(x-2)^2, in questo caso ho ma(-1)=2 ed ma(2)=2 che sono i risultati che servono per arrivare alla giusta soluzione, scomponendo il polinomio con ruffini a me esce (x+1)(x+1)(x-2) quindi ma(2)=1 e non va bene, insomma vorrei sapere come si arriva a (x+1)^2(x-2)^2

Scusate ma non sono bravo in matematica

[Kashaman]

Tu hai $x^4-2x^3-3x^2+4x+4$
hai bisogno di fattorizzare questo polinomio.
Verifichiamo se ha radici razionali. (usiamo il criterio di esistenza delle radici razionali.

th sia $f(X)=\sum_i^na_ix^i in Z[X]$ e $\alpha=r/s in Q$
se $f(\alpha)=0 => s|a_n ^^ r|a_0$ prove it!

sia $\alpha=r/s ( r,s in ZZ , (r,s)=1^^ s!=0)$
$f(\alpha)=0=> s|1 ^^ r|4 $il che ci porta a dire che $s in {+-1}^^r in {+-1,+-2,+-4}$
pertanto $\alpha in {+-1,+-2,+-4}$ ok?
bene.
valutiamo il polinomio per alcuni valori. Notiamo che
$f(-1)=f(2)=0$ pertanto sia $x-2$ che $x+1$ dividono $f(X)$ quindi $(x-2)(x+1)=x^2-x-2|f(x)$
facendo la divisione di $f(X)$ per $x^2-x-2$ si ottiene $x^2-x-2$
pertanto $f(X) = (x^2-x-2)(x^2-x-2)=(x-2)(x+1)(x-2)(x+1)=(x+1)^2(x-2)^2$

[Sk_Anonymous]

Anche mediante artificio:

$x^4-2x^3-3x^2+4x+4=$

$=x^4-2x^3-4x^2+x^2+4x+4=$

$=(x^2-x-2)^2=$

$=(x+1)^2(x-2)^2$

[_Armata_Rossa_1]

Grazie mi sapete come mai con ruffini non esce l'altro (x-2)? In teoria non dovrebbe funzionare lo stesso?

[Sk_Anonymous]

Avrai sbagliato qualcosa.

[_Armata_Rossa_1]

Con la prima scomposizione (x+1) mi rimane x^3 - 3x^2 +0x +4, poi rifaccio con (x+1) e mi rimane x^2 - 4x +4, scompongo con (x-2) e mi rimane x-2, quindi (x+1)(x+1)(x-2), se mi aiuti a capire ti sarei molto grado visto che mi sembra il metodo più facile per scomporre

[Sk_Anonymous]

Non so come tu abbia fatto l'ultimo calcolo, certo che scomodare Ruffini per $[x^2-4x+4=(x-2)^2]$ è piuttosto singolare. Si tratta del quadrato di un binomio, un prodotto notevole per intenderci. Si fanno in prima superiore.