Polinomio caratteristico

[mictrt]

$ ( ( k,1,1 ),( 1,k,1),( 1,1,k ) ) $

a me il polinomio caratteristico viene

(k-t)[(k-t)ˆ2-1]

ma vedendo un esercizio svolto sembra che sia errato....

voi che dite?

[Sk_Anonymous]

Chiamando $ M $ la matrice da te scritta, abbiamo

$ M - tI_3 = ((k-t, 1, 1), (1, k-t, 1), (1, 1, k-t)) $

il cui determinante è

$ \det(M - tI_3) = (k-t)[(k-t)^2-1]-[(k-t)-1]+[1-(k-t)] $

Svolgendo i calcoli, ottieni

$ \det(M - tI_3) = [(k-t)-1]^2[(k-t)+2] $

la cui equazione caratteristica associata è comoda da risolvere in $ (k - t) $ anziché in $ t $:

$ S_{k-t} = \{ 1, −2 \} $

dove con $ S_{k-t} $ ho indicato l'insieme soluzione dell'equazione caratteristica nella variabile $ k - t $ (la soluzione $ k-t = 1 $ ha molteplicità $ 2 $).

Risolvendola in $ t $, invece:

$ S_t = \{ k-1, k+2 \} $

dove la soluzione $ t = k-1 $ ha molteplicità $ 2 $.

[mictrt]

−[(k−t)−1]+[1−(k−t)] <-------come lo hai tirato fuori?

[Sk_Anonymous]

Ho applicato lo sviluppo di Laplace secondo la prima riga:

http://it.wikipedia.org/wiki/Determinan ... di_Laplace

[Lorin1]

@Mictrt: Per trovare il polinomio caratteristico basta prendere la matrice $(M-tI)$ nel post precedente di tano_91 e applicare la regola di Sarrus. Facendo un pò di conti mi trovo:

$p(t)=(k-t)^3-3(k-t)+2$

EDIT: Ora se poni $(k-t)=y => y^3-3y+2=(y-1)^2(y+2)=[(k-t)-1]^2[(k-t)+2]$

[Sk_Anonymous]

Confermo il risultato di Lorin; abbiamo applicato due metodi diversi, ma il risultato è identico.

[mictrt]

il metodo di lorin l'ho capito il tuo ancora no tano_91....puoi farmi vedere tutti i passaggi?grazie

[Lorin1]

Comunque si equivalgono come metodi. Anche se io penso che Sarrus nelle matrici (3x3) sia superiore al metodo di Laplace

[Sk_Anonymous]

In quest'altro link è spiegato in maniera approfondita:

http://it.wikipedia.org/wiki/Sviluppo_di_Laplace

Comunque, lo sviluppo di Laplace funziona per matrici quadrate qualunque, mentre la regola di Sarrus solo e soltanto per le matrici di ordine $ 3 $.

[mictrt]

ok ora è chiaro....vi ringrazio ragazzi...