Polinomio associato a un determinante

[Sk_Anonymous]

Come posso dimostrare che il $det(A-xI_n)$ , con $A in K^(nxn)$ può essere espresso con un polinomio al più di grado $n$?
Ovvero:
Al $det(A-xI_n)-=|( ( a_(1,1)-x , . , . , . , a_(1,n) ),( . , . , , , . ),( . , , . , , . ),( . , , , . , . ),( a_(n,1) , . , . , . , a_(n,n)-x ) )|=|( a_(1,1)-x , . , . , . , a_(1,n) ),( . , . , , , . ),( . , , . , , . ),( . , , , . , . ),( a_(n,1) , . , . , . , a_(n,n)-x ) |$
è associato un polinomio $P(x)$ di massimo grado $n$.
Dovrei provare per $n=1,2,3,..$ e verificarlo per induzione? Qualcuno ha altre idee?

[21zuclo]

mi sembra di ricordare di SI..bisognava procedere per induzione..

[vict85]

Usando la formula di Leibniz si ricava che

\(\displaystyle \det(A-xI) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n (a_{i,\sigma(i)} - x\delta_{i,\sigma(i)}) \)

Il fatto che sia un polinomio di grado al più \(\displaystyle n \) direi che è evidente dalla formula.

[dissonance]

Ma non sono d'accordo sul grado "al più $n$", infatti quello è un polinomio di grado esattamente $n$, mi pare il caso di specificarlo. Sennò come si fa a fare discorsi di molteplicità algebrica?

[garnak.olegovitc1]

la butto/sparo [nota]chiedo perdono se non avrò buona mira [/nota]$$\deg(\det(A-xI_n))=\deg(\det(A)-\det(xI_n))\leq \max\{\deg(\det(A)), \deg(\det(xI_n))\}$$ ora io penso, dalla definizione di grado di un polinomio, che \( \deg(\det(A))=0\) poichè \( \det(A) \in K \), mentre \(\deg(\det(xI_n))=\deg\left(\det\left(\begin{Vmatrix}
x & 0& \dots &0 \\
0 & x& \dots &0 \\
\vdots& \vdots & & \vdots\\
0& 0 & \dots & x
\end{Vmatrix}\right)\right)\) ergo si vede facilmente che \( \det(xI_n)=x^n \) allora \( \deg(\det(xI_n))=\deg(x^n)=n \); quindi $$\deg(\det(A-xI_n))=\deg(\det(A)-\det(xI_n))\leq n=\max\{0, n\}$$ che è quanto volevasi (di)mostrare...

Ora dalla mia più alta titubanza vorrei una conferma da parte di qualcuno ringraziandolo anticipatamente!

edit: ho pensato un attimo al fatto che "\( \deg(\det(A))=0\) poichè \( \det(A) \in K \)".. io penso che sarebbe giusto dire che "certamente \( \det(A) \in K \) e se \(\det(A)=a_0=0_K \) allora \( \deg(\det(A))=-\infty \), se invece \(\det(A)=a_0\neq0_K \) allora \( \deg(\det(A))=0\)......etc etc... ma in entrambi i casi avremo che \(\max\{0, n\}=\max\{-\infty, n\}=n\)..." Così è più corretto ammesso sia corretta la parte di sopra?!

Saluti

[vict85]

"dissonance":Ma non sono d'accordo sul grado "al più $n$", infatti quello è un polinomio di grado esattamente $n$, mi pare il caso di specificarlo. Sennò come si fa a fare discorsi di molteplicità algebrica?

Si, hai ragione. E tra l’altro nella dimostrazione che ho fatto prima la permutazione \(\displaystyle \mathrm{id} \) produce un polinomio di grado esattamente \(\displaystyle n \) ed è l'unica che lo fa (prodotto di \(\displaystyle n \) monomi). Quindi la formula che ho scritto sopra è senza dubbio un polinomio di grado \(\displaystyle n \).

[Sk_Anonymous]

Quindi non è al più di grado $n$, ma esattamente di grado $n$?

[garnak.olegovitc1]

@sleax,

"sleax":Quindi non è al più di grado $n$, ma esattamente di grado $n$?

provo a risponderti (sperando di non dire cavolate e spero di avere conferma/smentita anche qui da parte di un Matematico )
Abbiamo che \(\deg(\det(xI_n))=n\geq1 \) ed \( \deg(\det(A))\in \{0,-\infty\}\), nella relazione $$\deg(\det(A-xI_n))\leq \max\{\deg(\det(A)), \deg(\det(xI_n))\}$$ vale l'uguaglianza se e solo se \(\deg(\det(xI_n)) \neq \deg(\det(A)) \) e mi sembra di capire che è sempre vero!

Saluti

P.S.= Il fatto di essere "alpiù \( n\)" vale sempre solo che in questo caso è anche "uguale ad \(n\)"

[vict85]

"sleax":Quindi non è al più di grado $n$, ma esattamente di grado $n$?

Pensavo la mia dimostrazione fosse chiara.

Consideriamo \(\displaystyle \det(A - xB) \) con \(\displaystyle A,B\in M_3(\mathbb{K}) \) per qualche campo \(\displaystyle \mathbb{K} \) di caratteristica \(\displaystyle 0 \).

Allora vale la formula di Leibniz cioè:
\(\displaystyle \det(A - xB) = \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n (a_{i,\sigma(i)} - xb_{i,\sigma(i)}) \)

Nel caso \(\displaystyle n = 3 \), \(\displaystyle S_3 \) possiede \(\displaystyle 6 \) elementi: \(\displaystyle \{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \} \). In altre parole si ha:

\(\displaystyle \det(A - xB) = (a_{11} - xb_{11})(a_{22} - xb_{22})(a_{33} - xb_{33}) - (a_{12} - xb_{12})(a_{21} - xb_{21})(a_{33} - xb_{33}) - (a_{13} - xb_{13})(a_{22} - xb_{22})(a_{31} - xb_{31}) - (a_{11} - xb_{11})(a_{23} - xb_{23})(a_{23} - xb_{23}) + (a_{12} - xb_{12})(a_{23} - xb_{23})(a_{31} - xb_{31}) + (a_{13}- xb_{13})(a_{21} -xb_{21})(a_{32} - xb_{32}) \)

Ora è evidente che \(\displaystyle (a_{1,\sigma(1)} - xb_{1,\sigma(1)})(a_{2,\sigma(2)} - xb_{2,\sigma(2)})(a_{3,\sigma(3)} - xb_{3,\sigma(3)}) = (-1)^3 x^3(b_{1,\sigma(1)}b_{2,\sigma(2)}b_{3,\sigma(3)}) + p_\sigma \) dove \(\displaystyle p_\sigma \) è un polinomio di grado al più \(\displaystyle 2 \).

In generale si ha quindi che \(\displaystyle \prod_{i=1}^n (a_{i,\sigma(i)} - xb_{i,\sigma(i)}) = p_{\sigma} + (-1)^n x^n\prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}\).

In definitiva si ricava che
\begin{align} \det(A - xB) &= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n (a_{i,\sigma(i)} - xb_{i,\sigma(i)}) \\
&= \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\biggl(p_{\sigma} + (-1)^n x^n\prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}\biggr) \\
&= \biggl(\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)p_{\sigma}\biggr) + (-1)^n x^n \biggl(\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n b_{i,\sigma(i)}\biggr) \\
&= p + (-1)^n x^n \det(B)
\end{align}
dove \(\displaystyle \deg(p)
Quindi non solo è di grado \(\displaystyle n \), ma il coefficiente di grado massimo con \(\displaystyle B=I \) è \(\displaystyle (-1)^n \).

Si noti che se \(\displaystyle \det(B)=0 \) allora il polinomio \(\displaystyle \det(A-xB) \) è di grado minore di \(\displaystyle n \).