Polinomi minimi

[gloria19881]

Ciao a tutti.
Mi viene chiesto di scrivere tutti i polinomi minimi e le rispettive forme canoniche razionali di $Mat_2$($Z_2$).

Allora i possibili polinomi minimi sono:

x, x+1, $x^2$,$x^2$+1,$x^2$+x,$x^2$+x+1$

Allora le forme canoniche razionali sono:

$x^2$=$((0,0),(1,0))$

$x^2$+1=$((0,1),(1,0))$

$x^2$+x=$((0,0),(1,1))$

$x^2$+x+1=$((0,1),(1,1))$

Ora la mia domanda è come si fanno a calcolare le forme canoniche razionali di x e x+1. Grazie!!!!!!!1

[blackbishop13]

gloria utilizza di più le formule, non solo quando è necessario.
è molto più comprensibile $x^2+x+1$ che una cosa come $x^2$+x+1

notazioni tecniche a parte, mi trovo abbastanza d'accordo con quello che scrivi.
per trovare la forma canonica cerca di pensare che il polinomio minimo si annulla sulla matrice che cerchi.

ad esempio, quale mai sarà la matrice che annulla il polinomio $x$ ?

[cirasa]

Non ricordo benissimo le questioni sulle forme canoniche razionali, quindi potrei sbagliarmi.
Ma vorrei fare un'osservazione che -spero- forse potrà esserti utile:
se una matrice $A$ quadrata $2\times 2$ ha polinomio minimo $p(x)=x$ com'è tale matrice?

Edit: Scusa, Black, per la sovrapposizione!

[gloria19881]

La matrice che ha come polinomio minimo x sarà la matrice nulla ovvero: A=$((0,0),(0,0))$

Però con tutto il mio impegno non riesco a capire quella di $x$$+$$1$. Grazie mille!!!
Io ho imparato dalla profe a scrivere le forme canoniche razionali usando la matrice companion ma in questo caso non riesco a trovare una matrice $2$$X$$2$ per questo polinomio.

[blackbishop13]

invece di applicare un metodo standard prova a ragionare.
devi sempre pensare al fatto che il polinomio minimo si annulla sulla matrice.

se il polinomio minimo è $x+1$ come potrà essere la matrice, ovvero qual'è quella matrice $A$ tale che $A+Id=0$ ?

[gloria19881]

Allora se il polinomio minimo si annulla sulla matrice sarà:

A=$((-1,0),(0,-1))$

Grazie mille ancora una volta per l'aiuto!!!