Polinomi Linearmente Indipendenti
Dati tre polinomi linearmente indipendenti in$ {p(z) in CC leq 7[ ZZ ] : p(i)=p'(-i)}$, quanti bisogna aggiungerne per avere una base?
Potreste darmi qualche delucidazione? Non riesco a risolverlo...
Potreste darmi qualche delucidazione? Non riesco a risolverlo...
Risposte
Suppongo che tu stia considerando i polinomi a coefficienti complessi di grado minore o uguale a sette. In generale, tale spazio ha una base formata da $8$ elementi (tutte i monomi [tex]$z^k,\ 0\le k\le 7$[/tex] formano una base). Tuttavia lo spazio che stai considerando è caratterizzato da una condizione che abbassa di uno la dimensione dello spazio: avendo già 3 polinomi linearmente indipendenti, te ne serviranno, pertanto, altri 4.
Grazie suppongo di aver capito...
Quindi, vediamo...
Dati 10 polinomi che generano$ {p(z) in CC leq 7[ ZZ ] : p(i)=p(-i)} $ quanti bisogna eliminarne per avere una base?
Lo spazio ha elementi da 0 a 7, io ho 10 polinomi quindi ne devo eliminare 3 giusto?
Quindi, vediamo...
Dati 10 polinomi che generano$ {p(z) in CC leq 7[ ZZ ] : p(i)=p(-i)} $ quanti bisogna eliminarne per avere una base?
Lo spazio ha elementi da 0 a 7, io ho 10 polinomi quindi ne devo eliminare 3 giusto?
Esatto. Però devi fare in modo che quelli rimanenti siano linearmente indipendenti.
Capito,
Invece in questo caso:
Se $ V={ X in RR^7: x2+5x3=2x7 }, M in M2X7(RR), W={ x in V:M*x=0 } $ e $Z sub V$ sono tale che $V=W+Z$, che dimensione può avere $Z$?
V ha dimensione 8-1=7 giusto?
M ha dimensione 2...
E qui mi blocco
Invece in questo caso:
Se $ V={ X in RR^7: x2+5x3=2x7 }, M in M2X7(RR), W={ x in V:M*x=0 } $ e $Z sub V$ sono tale che $V=W+Z$, che dimensione può avere $Z$?
V ha dimensione 8-1=7 giusto?
M ha dimensione 2...
E qui mi blocco
Allora, vediamo se ho capito: tu hai
[tex]$V=\{X\in\mathbb{R}^7\ :\ x_2+5x_3=2x_7\},\quad M\in\mathcal{M}_{2\times 7}(\mathbb{R}),\quad W=\{X\in V\ :\ MX=0\},\quad V=W+Z$[/tex]
dove [tex]$Z$[/tex] è un sottospazio (o sottoinsieme?) di [tex]$V$[/tex]. Giusto?
Ovviamente [tex]$\dim V=\dim\mathbb{R}^7-1=6$[/tex], mentre [tex]$W=\ker(W)|_{V}$[/tex] pertanto la sua dimensione sarà [tex]$0\le\dim W\le 2$[/tex]. Dalla formula di Grassman segue
[tex]$\dim V=\dim(W+Z)=\dim W+\dim Z-\dim(W\cap Z) \Rightarrow \dim Z=6+\dim(W\cap Z)-\dim W$[/tex]
e pertanto
[tex]$4+\dim(W\cap Z)\le\dim Z\le 6+\dim(W\cap Z)$[/tex]
Ora, [tex]$\dim(W\cap Z)\in\{0,1,2\}$[/tex] pertanto [tex]$4\le\dim Z\le 6$[/tex].
[tex]$V=\{X\in\mathbb{R}^7\ :\ x_2+5x_3=2x_7\},\quad M\in\mathcal{M}_{2\times 7}(\mathbb{R}),\quad W=\{X\in V\ :\ MX=0\},\quad V=W+Z$[/tex]
dove [tex]$Z$[/tex] è un sottospazio (o sottoinsieme?) di [tex]$V$[/tex]. Giusto?
Ovviamente [tex]$\dim V=\dim\mathbb{R}^7-1=6$[/tex], mentre [tex]$W=\ker(W)|_{V}$[/tex] pertanto la sua dimensione sarà [tex]$0\le\dim W\le 2$[/tex]. Dalla formula di Grassman segue
[tex]$\dim V=\dim(W+Z)=\dim W+\dim Z-\dim(W\cap Z) \Rightarrow \dim Z=6+\dim(W\cap Z)-\dim W$[/tex]
e pertanto
[tex]$4+\dim(W\cap Z)\le\dim Z\le 6+\dim(W\cap Z)$[/tex]
Ora, [tex]$\dim(W\cap Z)\in\{0,1,2\}$[/tex] pertanto [tex]$4\le\dim Z\le 6$[/tex].
Grazie mille, ho capito tutto a parte perchè $W= ker(W)|v$? Viene $ 0<=Dim V <=2 $ perchè M è 2x7?
PS: nella soluzione mi dice tra 0 e 2
PS: nella soluzione mi dice tra 0 e 2
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