Polinomi linearmente indipendenti

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30 nov 2009, 19:23

Buonasera a tutti!
Ho un quesito:
"I polinomi $x^3$, $x^3-2x$, $x$ e $1$ di $RR[x]$ sono linearmente indipendenti?"

Affinchè i polinomi dati siano linearmente indipendenti dovrà risultare: $ax^3+b(x^3-2x)+cx+d*1=0$ con $a=b=c=d=0$. Con facili passaggi si ottiene:
$x^3(a+b)+x(c-2b)+1=0$. Ne consegue un sistema, il cui rango della matrice dei coefficienti vale $3$; si osserva che anche il rango della matrice completa vale $3$, ma le incognite del sistema sono $4$. Il sistema allora per il teorema di Rouché-Capelli ammette $oo^1$ soluzioni. Ciò vuol dire che i polinomi sono linearmente indipendenti? Non ho chiaro questo passaggio conclusivo.
Spero di non aver fatto errori macroscopici...!
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

Andrea

Risposte

dissonance

30 nov 2009, 18:56

"Andrea90":
Affinchè i polinomi dati siano linearmente indipendenti dovrà risultare: $ax^3+b(x^3-2x)+cx+d*1=0$ con $a=b=c=d=0$.

No. Deve risultare che $ax^3+b(x^3-2x)+cx+d*1=0$ IMPLICA $a=b=c=d=0$, che è molto diverso.

Con facili passaggi si ottiene:
$x^3(a+b)+x(c-2b)+1=0$. Ne consegue un sistema, il cui rango della matrice dei coefficienti vale $3$; si osserva che anche il rango della matrice completa vale $3$, ma le incognite del sistema sono $4$. Il sistema allora per il teorema di Rouché-Capelli ammette $oo^1$ soluzioni.

C'è qualcosa che non va. Che quei polinomi siano l.i. è vero [edit: NO, è falso, errore] , ma questo equivale al fatto che il sistema ammette l'unica soluzione $a=0, b=0, c=0, d=0$.

Andrea902

30 nov 2009, 19:09

"dissonance":
No. Deve risultare che $ax^3+b(x^3-2x)+cx+d*1=0$ IMPLICA $a=b=c=d=0$, che è molto diverso.

Mi sono espresso molto male, è vero! Ma in ogni caso mi è chiarissima la differenza...! Ovviamente in luogo di "con" va usato "implica".

Ma senza risolvere il sistema, come fai a stabilire a priori che quei polinomi sono l.i.?!

Gatto891

30 nov 2009, 19:33

Senza che ti fai troppi conti, puoi vedere che $P_1 -2P_3 = P_2$ quindi non sono linearmente indipendenti... (o equivalentemente, presi $a = b = 1$, $c = -2$ e $d = 0$ hai una combinazione lineare non banale che ti da il polinomio nullo quindi sono lineramente dipendenti).

Andrea902

30 nov 2009, 20:07

Ok. Tutto chiaro. Così non si spiegherebbe il fatto che il sistema da me ottenuto è indeterminato?

dissonance

30 nov 2009, 20:15

"Andrea90":
Ma senza risolvere il sistema, come fai a stabilire a priori che quei polinomi sono l.i.?!

Semplice: avevo scambiato $x^3 -2x$ per $x^3 - 2x^2$! Invece i polinomi del tuo esercizio sono linearmente dipendenti: $- (x^3) +(x^3 -2x) +2(x) = 0 $ è una loro combinazione lineare non banale e però uguale a $0$.

Andrea902

30 nov 2009, 20:18

"dissonance":
Semplice: avevo scambiato $x^3 -2x$ per $x^3 - 2x^2$! Invece i polinomi del tuo esercizio sono linearmente dipendenti: $- (x^3) +(x^3 -2x) +2(x) = 0 $ è una loro combinazione lineare non banale e però uguale a $0$.

Ok! Allora torna il calcolo con il sistema da me svolto?

Gatto891

30 nov 2009, 20:19

"Andrea90":
Ok. Tutto chiaro. Così non si spiegherebbe il fatto che il sistema da me ottenuto è indeterminato?

Esattamente... il tuo sistema ha $\infty^1$ soluzioni in quanto $aP_1 +bP_2 +cP_3 +dP_4$ ha infinite soluzioni della forma $(\lambda, \lambda, -2\lambda, 0)$ al variare di $\lambda$ in $RR$.
Se il tuo sistema fosse stato linearmente indipendente, il tuo sistema avrebbe dovuto avere un'unica soluzione (quella banale).