Polinomi Generatori Problema Esercizio
Sera ragazzi, ho il seguente quesito: I polinomi \(\displaystyle p(x)=1+2x+x^2, q(x)=2+x^2 \) sono dei generatori di \(\displaystyle R_2[x] \) ?
ho ragionato nel modo seguente: nel caso di p(x) assumo come sistema di generatori \(\displaystyle {(1,x,x^2)} \) dove ognuno di esso possiede gradi diversi pertanto sono linearmente indipendenti;
nel caso di q(x) mi riferisco ad un sistema di generatori del tipo \(\displaystyle {(1,x^2)} \) una volta fatto ciò verifico che siano linearmente indipendenti in tal modo, pongo \(\displaystyle \lambda(1,x^2)=0 \) metto a sistema e verifico che \(\displaystyle \lambda =0 \)
è corretto ciò?
grazie ragazzi!
ho ragionato nel modo seguente: nel caso di p(x) assumo come sistema di generatori \(\displaystyle {(1,x,x^2)} \) dove ognuno di esso possiede gradi diversi pertanto sono linearmente indipendenti;
nel caso di q(x) mi riferisco ad un sistema di generatori del tipo \(\displaystyle {(1,x^2)} \) una volta fatto ciò verifico che siano linearmente indipendenti in tal modo, pongo \(\displaystyle \lambda(1,x^2)=0 \) metto a sistema e verifico che \(\displaystyle \lambda =0 \)
è corretto ciò?
grazie ragazzi!
Risposte
Non riesco a seguire il tuo ragionamento.
Comunque sia, $p(x)$ lo devi considerare come un "unico vettore in blocco", stessa cosa per $q(x)$.
Una volta appurato che $p(x), q(x)$ siano l.i. $hArr alpha p(x) + beta q(x)=0 hArr alpha=beta=0$,
è necessario aggiungere un ulteriore vettore, poiché uno spazio di $dim=3$ necessita di tre generatori.
Comunque sia, $p(x)$ lo devi considerare come un "unico vettore in blocco", stessa cosa per $q(x)$.
Una volta appurato che $p(x), q(x)$ siano l.i. $hArr alpha p(x) + beta q(x)=0 hArr alpha=beta=0$,
è necessario aggiungere un ulteriore vettore, poiché uno spazio di $dim=3$ necessita di tre generatori.
Ok, quindi nel caso \(\displaystyle q(x)=2+x^2 \) pongo come vettore \(\displaystyle v_1=(2,0,1) \) , nel caso \(\displaystyle p(x)=1+2x+x^2 \) scelgo come vettore \(\displaystyle v_2=(1,2,1) \). Fatto ciò, verifico che questi siamo linearmente indipendenti in tal maniera:
\(\displaystyle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2=0 \) fatto ciò mi ricavo un sistema di questo tipo:
\(\displaystyle {(\lambda_1+2\lambda_2=0),( 2\lambda_1= 0),( \lambda_1+\lambda_2 = 0):} \)
da cui si ottiene la matrice
\(\displaystyle ((1,2),(2,0),(1,1)) \) e riducendola per righe si ottiene che il rango della matrice è uguale a 2 che non essendo massimo ci fa capire che la matrice è composta da vettori non linearmente indipendenti.
E' corretto?
grazie mille!
\(\displaystyle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2=0 \) fatto ciò mi ricavo un sistema di questo tipo:
\(\displaystyle {(\lambda_1+2\lambda_2=0),( 2\lambda_1= 0),( \lambda_1+\lambda_2 = 0):} \)
da cui si ottiene la matrice
\(\displaystyle ((1,2),(2,0),(1,1)) \) e riducendola per righe si ottiene che il rango della matrice è uguale a 2 che non essendo massimo ci fa capire che la matrice è composta da vettori non linearmente indipendenti.
E' corretto?
grazie mille!
E' corretto nell'idea (almeno nella prima parte!), anche se nella forma... mi spiego meglio:
Sì, ma non perchè "lo scegli" o perchè "lo poni", ma perchè esiste un isomorfismo da $\mathbb{R}_2[x]$ a $\mathbb{R}^3$ di passaggio alle coordinate, una volta fissata per $\mathbb{R}_2[x]$ la base ${1,x,x^2}$...
E comunque una matrice che ha più colonne che righe. o più righe che colonne è sempre necessariamente formata da colonne o (rispettivamente) righe linearmente dipendenti.
Comunque, l'idea di fondo è inutile e sbagliata (perchè non la applichi correttamente). Questo perchè i vettori delle coordinate dei polinomi in $\mathbb{R}_2[x]$ hanno 3 coordinate e non 2 come scrivi tu.
Ad ogni modo:
"Dave95":
Ok, quindi nel caso \(\displaystyle q(x)=2+x^2 \) pongo come vettore \(\displaystyle v_1=(2,0,1) \) , nel caso \(\displaystyle p(x)=1+2x+x^2 \) scelgo come vettore \(\displaystyle v_2=(1,2,1) \).
Sì, ma non perchè "lo scegli" o perchè "lo poni", ma perchè esiste un isomorfismo da $\mathbb{R}_2[x]$ a $\mathbb{R}^3$ di passaggio alle coordinate, una volta fissata per $\mathbb{R}_2[x]$ la base ${1,x,x^2}$...
E comunque una matrice che ha più colonne che righe. o più righe che colonne è sempre necessariamente formata da colonne o (rispettivamente) righe linearmente dipendenti.
Comunque, l'idea di fondo è inutile e sbagliata (perchè non la applichi correttamente). Questo perchè i vettori delle coordinate dei polinomi in $\mathbb{R}_2[x]$ hanno 3 coordinate e non 2 come scrivi tu.
Ad ogni modo:
"Dave95":da qui si conclude direttamente notando che $\lambda_1=\lambda_2=0$ è l'unica soluzione! Hai fatto vedere che i 2 vettori sono linearmente indipendenti in uno spazio di dimensione 2. Quindi fine (lo sai perchè, vero?)
λ1v1+λ2v2=0 fatto ciò mi ricavo un sistema di questo tipo:
(λ1+2λ2=0),(2λ1=0),(λ1+λ2=0)
Sera, Isaac888 avendo iniziato il corso da pochi giorni sono completamento all'oscuro di isomorfismi. Per la conclusione credo di si in quanto esiste un teorema che dice i vettori sono dei generatori se e solo se sono linearmente indipendenti.
Salve anche a te Dave95!
Allora l'idea (per ora!) che hai avuto è buona!
Falso! i vettori non devono essere solo linearmente indipendenti, ma anche "nel numero giusto" per essere dei generatori!
In $\mathbb{R}^3$ ${e_1}$ è una lista di 1 vettore linearmente indipendente (perchè non è nullo), ma questo non vuol dire che ${e_1}$ sia un generatore di $\mathbb{R}^3$. E nemmeno ${e_1,e_2}$ lo sono, eppure sono linearmente indipendenti.
Servono per forza tre vettori ${e_1,e_2,e_3}$.
"Dave95":
avendo iniziato il corso da pochi giorni sono completamento all'oscuro di isomorfismi.
Allora l'idea (per ora!) che hai avuto è buona!
"Dave95":
Per la conclusione credo di si in quanto esiste un teorema che dice i vettori sono dei generatori se e solo se sono linearmente indipendenti
Falso! i vettori non devono essere solo linearmente indipendenti, ma anche "nel numero giusto" per essere dei generatori!
In $\mathbb{R}^3$ ${e_1}$ è una lista di 1 vettore linearmente indipendente (perchè non è nullo), ma questo non vuol dire che ${e_1}$ sia un generatore di $\mathbb{R}^3$. E nemmeno ${e_1,e_2}$ lo sono, eppure sono linearmente indipendenti.
Servono per forza tre vettori ${e_1,e_2,e_3}$.
"Dave95":
Ok, quindi nel caso \(\displaystyle q(x)=2+x^2 \) pongo come vettore \(\displaystyle v_1=(2,0,1) \) , nel caso \(\displaystyle p(x)=1+2x+x^2 \) scelgo come vettore \(\displaystyle v_2=(1,2,1) \).
Si, esatto questo lo puoi fare perché $RR[x]_(<=2)$ è isomorfo a $RR^3$.
"Dave95":
Fatto ciò, verifico che questi siamo linearmente indipendenti in tal maniera:
\(\displaystyle \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2=0 \) fatto ciò mi ricavo un sistema di questo tipo:
\(\displaystyle {(\lambda_1+2\lambda_2=0),( 2\lambda_1= 0),( \lambda_1+\lambda_2 = 0):} \)
da cui si ottiene la matrice
\(\displaystyle ((1,2),(2,0),(1,1)) \) e riducendola per righe si ottiene che il rango della matrice è uguale a 2 che non essendo massimo ci fa capire che la matrice è composta da vettori non linearmente indipendenti.
E' corretto?
grazie mille!
Alt! C'è un po' di confusione.
La matrice dei coefficienti associata al sistema lineare omogeneo è giusta $ ((1,2),(2,0),(1,1)) $, è giusto anche che il rango sia $2$, ma è sbagliata la conclusione che ne hai tratto; infatti il rango è il massimo numero di vettori colonna (riga) linearmente indipendenti tra loro[nota]$r(A)=dim(\text{Righe(A)})=dim(\text{Colonne(A)})$.[/nota]
Puoi invece concludere che: due vettori colonna sono l.i. o[nota]N.B.: La disgiunzione in matematica è inclusiva.[/nota] due vettori riga sono l.i., però,
dato che il tuo spazio ha $dim=3$, a te interessano le colonne che sono $2=r ((1,2),(2,0),(1,1)) hArr $ sono l.i.
Tuttavia l'insieme questi due vettori non possono generare 'tutto' lo spazio $RR[x]_(<=2)$.
EDIT: P.S. sono lento a scrivere e non avevo notato che ti avevano già risposto
"Isaac888":
Comunque, l'idea di fondo è inutile e sbagliata (perchè non la applichi correttamente). Questo perchè i vettori delle coordinate dei polinomi in R2[x] hanno 3 coordinate e non 2 come scrivi tu.
Su questo mi sbagliavo io allora (solo però sul fatto che fosse sbagliato, ma non sul fatto che fosse inutile!). Per una pura coincidenza dei coefficienti mi era sembrato, da come avessi scritto una matrice di 3 righe fatte da vettori di 2 coordinate relativi ai polinomi $p(x)$, $q(x)$ ed un altro $(1,1)$ che infatti non avevo capito.
Per la questione della matrice allora vedi quello che ha scritto Magma
Ok, ragazzi grazie mille credo di aver capito finalmente. Nella conclusione mi sono sbagliato infatti il rango è massimo ed è due e va bene per un spazio con dimensioni due ma nel nostro caso la dimensione è tre quindi come sostiene magma a me interessano le colonne (dimensione tre). Ragazzi , vi chiedo un'ultima cosa veloce e poi credo di aver risolto i mie dubbi.
Devo dimostrare che delle matrici antisimmetriche siano una base , potrebbe andare come procedimento : \(\displaystyle ( A_1=(0,7,-1),(-7,0,0),(1 ,0 ,0 ) ) \) e \(\displaystyle A_2= (0,-1,-5),(1,0,0),(5 ,0 ,0 ) ) \) le vedo come \(\displaystyle ( A_1=(7,-1,0) \) e \(\displaystyle ( A_2=(-1,-5,0) \) e ne faccio la combinazione lineare e verifico se sono linearmente indipendenti. Se lo sono, per il teorema so anche sono generatori(controllo ovviamente se abbiano dimensione adatta a \(\displaystyle R^{3,3} \) ) e ordinati,pertanto un base.
grazie mille!
Devo dimostrare che delle matrici antisimmetriche siano una base , potrebbe andare come procedimento : \(\displaystyle ( A_1=(0,7,-1),(-7,0,0),(1 ,0 ,0 ) ) \) e \(\displaystyle A_2= (0,-1,-5),(1,0,0),(5 ,0 ,0 ) ) \) le vedo come \(\displaystyle ( A_1=(7,-1,0) \) e \(\displaystyle ( A_2=(-1,-5,0) \) e ne faccio la combinazione lineare e verifico se sono linearmente indipendenti. Se lo sono, per il teorema so anche sono generatori(controllo ovviamente se abbiano dimensione adatta a \(\displaystyle R^{3,3} \) ) e ordinati,pertanto un base.
grazie mille!
Per scrivere le matrici usa questo codice 
Solo una domanda: $dim(M_(3,3))=?$ (la dimensione delle matrici $3xx3$ quant'è?)
EDIT: anzi, un'ultima domanda: qual è la definizione di base?
$( (a,b,c), (d, e ,f), (g, h, i)) $
"Dave95":
Devo dimostrare che delle matrici antisimmetriche siano una base , potrebbe andare come procedimento : \(\displaystyle ( A_1=(0,7,-1),(-7,0,0),(1 ,0 ,0 ) ) \) e \(\displaystyle A_2= (0,-1,-5),(1,0,0),(5 ,0 ,0 ) ) \) le vedo come \(\displaystyle ( A_1=(7,-1,0) \) e \(\displaystyle ( A_2=(-1,-5,0) \) e ne faccio la combinazione lineare e verifico se sono linearmente indipendenti. Se lo sono, per il teorema so anche sono generatori(controllo ovviamente se abbiano dimensione adatta a \(\displaystyle R^{3,3} \) ) e ordinati,pertanto un base.
grazie mille!
Solo una domanda: $dim(M_(3,3))=?$ (la dimensione delle matrici $3xx3$ quant'è?)
EDIT: anzi, un'ultima domanda: qual è la definizione di base?
la dimensione della Matrici che appartengono a \(\displaystyle R^{3,3} \) è 9.
Definisco Base di uno spazio vettoriale V se esiste un insieme di vettori che chiamo \(\displaystyle B= (v_1,..., v_n) \) ordinato tale che \(\displaystyle (v_1,..., v_n) \) sia linearmente indipendente e \(\displaystyle L (v_1,..., v_n) = V\) \) . Spero siano corrette.
Definisco Base di uno spazio vettoriale V se esiste un insieme di vettori che chiamo \(\displaystyle B= (v_1,..., v_n) \) ordinato tale che \(\displaystyle (v_1,..., v_n) \) sia linearmente indipendente e \(\displaystyle L (v_1,..., v_n) = V\) \) . Spero siano corrette.
Esattamente!
Una base è definita come un insieme di vettori che, in questo caso, sono:
Ora, se ho capito bene, l'esercizio ti chiede se l'insieme costituito da due matrici possa essere una base per il sottospazio $RR^(3,3)$...
Una base è definita come un insieme di vettori che, in questo caso, sono:
generatori (almeno 9) e[nota]La congiunzione $(p ^^ q)$ è vera solo quando sono vere entrambe le proposizioni.[/nota] linearmente indipendenti (al più 9[nota]Per il lemma di Steinitz.[/nota])
Ora, se ho capito bene, l'esercizio ti chiede se l'insieme costituito da due matrici possa essere una base per il sottospazio $RR^(3,3)$...
Magma ho risolto i miei dubbi col tutore, grazie mille per le risposte e per la tua disponibilità, gentilissimo!
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