Polinomi e matrice associata
Buongiorno, ragazzi. Potreste dirmi un metodo per trovare la matrice associata a questa funzione?
$f(p)=p(1)x^2−p(k)$
$f(p)=p(1)x^2−p(k)$
Risposte
$k in RR$
Bell'esercizio...innanzitutto "la matrice associata" rispetto a quale base?
Supponiamo tu intenda aver fissato
$B={1,x,x^2}$ come base dello spazio vettoriale dei polinomi.
Inoltre per parlare di matrice associata per lo meno è necessario essere sicuri che f sia lineare, ma se è un esercizio posso supporre che lo sia.
La colonna i-esima della matrice associata rispetto a B che vogliamo costruire contiene i vettori coordinate (rispetto a B), di $f(v_i)$.
Calcoliamo le immagini dei vettori di B.
$f(1) = x^2-k$
$f(x)=x^2-k$
$f(x^2)=x^2-k$
Le coordinate delle immagini dei tre vettori di base sono costantemente $(-k, 0, 1)$.
Quindi la matrice associata rispetto a B è.....?
Supponiamo tu intenda aver fissato
$B={1,x,x^2}$ come base dello spazio vettoriale dei polinomi.
Inoltre per parlare di matrice associata per lo meno è necessario essere sicuri che f sia lineare, ma se è un esercizio posso supporre che lo sia.
La colonna i-esima della matrice associata rispetto a B che vogliamo costruire contiene i vettori coordinate (rispetto a B), di $f(v_i)$.
Calcoliamo le immagini dei vettori di B.
$f(1) = x^2-k$
$f(x)=x^2-k$
$f(x^2)=x^2-k$
Le coordinate delle immagini dei tre vettori di base sono costantemente $(-k, 0, 1)$.
Quindi la matrice associata rispetto a B è.....?
Scusa, non ho capito perché $f(1) , f(x) , f(x^2)$ assumono quei valori. Come si fa?
La f associa ad ogni polinomio p il polinomio
$f(p) = p(1)x^2-p(k)$.
Calcoliamo le immagini.
Primo polinomio della base: 1. 1 lo vedo un polinomio che assume valore costantemente 1. Quindi
$f(1) = 1\cdot x^2 -1 = x^2-1$ (prima avevo sbagliato)
Secondo polinomio: x.
$f(x) = x(1)\cdot x^2 +x(k) = 1 \cdot x^2-k=x^2-k$
e così via il terzo
$f(p) = p(1)x^2-p(k)$.
Calcoliamo le immagini.
Primo polinomio della base: 1. 1 lo vedo un polinomio che assume valore costantemente 1. Quindi
$f(1) = 1\cdot x^2 -1 = x^2-1$ (prima avevo sbagliato)
Secondo polinomio: x.
$f(x) = x(1)\cdot x^2 +x(k) = 1 \cdot x^2-k=x^2-k$
e così via il terzo
Ah ok ok, ecco perché non mi tornava
Ma il terzo non dovrebbe essere $x^2 - k^2$ ?
Si, infatti. Anche a me viene così
"luciavirgi":
Si, infatti. Anche a me viene così
Ok perfetto.
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