Poligoni e simplessi
Dimostra che un tutti i poligoni pieni si possono decomporre in una riunione finita di simplessi tale che l'intersezione di due simplessi distinti è costituita da:
1. l'insieme vuoto,
2. o uno vertice comune,
3. o un lato (faccia) comune (stessa estremita).
Io ho pensato di farlo per induzione sul numero di vertici. Un poligono che possiede 3 vertici è un simplesso.
Supponiamo che sia vero per un poligono \(P_n\) a \( n \) vertici.
Sia un poligono \( P_{n+1} \), tracciamo una retta che passa da due vertici del nostro poligono, formando dunque due poligoni \( P_{m} \) e \( P_{k} \) distinti con un lato comune (condizione 3.), abbiamo evidentemente che \( m, k < n+1 \) e per induzione mi sono ricondotto ad un poligono che posso decomporre in una riunione finita di simplessi che soddisfa le condizioni di cui sopra.
Può andare come dimostrazione?
1. l'insieme vuoto,
2. o uno vertice comune,
3. o un lato (faccia) comune (stessa estremita).
Io ho pensato di farlo per induzione sul numero di vertici. Un poligono che possiede 3 vertici è un simplesso.
Supponiamo che sia vero per un poligono \(P_n\) a \( n \) vertici.
Sia un poligono \( P_{n+1} \), tracciamo una retta che passa da due vertici del nostro poligono, formando dunque due poligoni \( P_{m} \) e \( P_{k} \) distinti con un lato comune (condizione 3.), abbiamo evidentemente che \( m, k < n+1 \) e per induzione mi sono ricondotto ad un poligono che posso decomporre in una riunione finita di simplessi che soddisfa le condizioni di cui sopra.
Può andare come dimostrazione?
Risposte
Un simplesso sarebbe un triangolo? Perché ho l'impressione che qua sia tutto nel piano, o mi sbaglio?
Nell esercizio in effetti non è specificata la dimensione, anche io l'ho interpretato nel piano e quindi si la definizione di simplesso che ci hanno dato nel piano è
\( \bar{ABC}=\{ \lambda_A A + \lambda_B B + \lambda_C C \mid \lambda_A,\lambda_B,\lambda_C \geq 0, \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C = 1 \} \)
che effettivamente è un triangolo, ma credo che questo risultato sia generalizzabile a qualcunque dimensione.
\( \bar{ABC}=\{ \lambda_A A + \lambda_B B + \lambda_C C \mid \lambda_A,\lambda_B,\lambda_C \geq 0, \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C = 1 \} \)
che effettivamente è un triangolo, ma credo che questo risultato sia generalizzabile a qualcunque dimensione.
La tua dimostrazione va bene. Per dimensioni superiori attento perché le cose facilmente diventano un casino. Già in dimensione \(3\), i vari simplessi si possono intersecare in un punto, un lato, o una faccia. In dimensione 4, si possono intersecare in un punto, un lato, una faccia bidimensionale o una faccia tridimensionale. Eccetera eccetera.
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