Piccolo problema di Algebra Tensoriale

[mate_1987]

Ciao a tutti, spero di postare nella sezione giusta....
ho bisogno di un piccolo chiarimento circa i tensori....purtroppo li usiamo al corso di fisica matematica 5, ma non li abbiamo mai visti in algebra ...spero possiate aiutarmi

Se ho un tensore antisimmetrico definito dal prodotto di altri 2 tensori, qual è la sua traccia?

...nel mio caso ho
[tex]S_{k}=\frac{\partial \Psi}{\partial a} \otimes \frac{\partial f}{\partial a}[/tex]
dove a è il gradiente di una funzione scalare, ed f e psi sono altre funzioni scalari.

Sull'articolo che ho da studiare ho semplicemente trovato che "prendendo la traccia del tensore otteniamo [tex]\frac{\partial \Psi}{\partial a} \cdot \frac{\partial f}{\partial a} =0[/tex] "

Grazie mille a tutti in anticipo

[cirasa]

Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale di dimensione [tex]n[/tex]. Sia [tex]V^*[/tex] il suo duale e [tex]V^{**}[/tex] il suo biduale.
Un tensore di specie [tex](r,s)[/tex] è un'applicazione lineare
[tex]T:\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r\textrm{ volte}}\times\underbrace{V\times\dots\times V}_{s\textrm{ volte}}\to\mathbb{R}[/tex]
Nota che un vettore è anche un tensore (di specie [tex](1,0)[/tex]) in virtù dell'isomorfismo canonico [tex]V\simeq V^{**}[/tex].

E' definito il prodotto tensoriale fra un tensore [tex]T[/tex] di specie [tex](r,s)[/tex] ed un tensore [tex]S[/tex] di specie [tex](r',s')[/tex]. Si pone
[tex]T\otimes S:\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r+r'\textrm{ volte}}\times\underbrace{V\times\dots\times V}_{s+s'\textrm{ volte}}\to\mathbb{R}[/tex]
tale che
[tex]T\otimes S(v_1,v_2,w_1,w_2)=T(v_1,w_1)S(v_2,w_2)[/tex]
per ogni [tex]v_1\in\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r\textrm{ volte}}[/tex], [tex]v_2\in\underbrace{V^*\times\dots\timesV^*}_{r'\textrm{ volte}}[/tex], [tex]w_1\in\underbrace{V\times\dots\times V}_{s\textrm{ volte}}[/tex], [tex]w_2\in\underbrace{V\times\dots\times V}_{s'\textrm{ volte}}[/tex].

Scelta una base [tex]e_1,\dots,e_n[/tex] di [tex]V[/tex], se (è sottointesa la somma sugli indici ripetuti) [tex]v=a^ie_i, w=b^je_j\in V[/tex], si dimostra che
[tex]v\otimes w=a^ib^je_i\otimes e_j[/tex].
Finalmente possiamo definire la traccia di [tex]v\otimes w[/tex] come la traccia della matrice
[tex]\left(\begin{matrix}a^1b^1 & \dots & a^1b^n \\ \vdots & & \vdots \\ a^nb^1 & \dots & a^nb^n \end{matrix}\right)[/tex]

Nel tuo caso [tex]V=\mathbb{R}^3[/tex], punto per punto [tex]\frac{\partial \Psi}{\partial a}, \frac{\partial f}{\partial a}[/tex] sono vettori di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] con componenti [tex]\frac{\partial \Psi^1}{\partial a}[/tex], [tex]\frac{\partial \Psi^2}{\partial a}[/tex], [tex]\frac{\partial \Psi^3}{\partial a}[/tex] e [tex]\frac{\partial f^1}{\partial a}[/tex], [tex]\frac{\partial f^2}{\partial a}[/tex], [tex]\frac{\partial f^3}{\partial a}[/tex].
Per cui la traccia di quel prodotto tensoriale è
[tex]\displaystyle \textrm{tr}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial a}\otimes\frac{\partial f}{\partial a}\right)=\frac{\partial \Psi^1}{\partial a}\frac{\partial f^1}{\partial a}+\frac{\partial \Psi^2}{\partial a}\frac{\partial f^2}{\partial a}+\frac{\partial \Psi^3}{\partial a}\frac{\partial f^3}{\partial a}=\frac{\partial \Psi}{\partial a}\cdot\frac{\partial f}{\partial a}[/tex],
dove ho indicato con [tex]\cdot[/tex] il prodotto scalare standard in [tex]\mathbb{R}^3[/tex].

Spero di averti aiutato. Ciao!

[cirasa]

Vorrei fare una puntualizzazione sulla definizione precedente: la base deve essere ortonormale (rispetto ad un prodotto scalare definito su [tex]V[/tex]).
In tal caso si dimostra che la definizione non dipende dalla scelta della base.