Piccolo dubbio su prodotto scalare
ciao a tutti, eccomi di nuovo qui...
Si consideri l'endomorfismo di $RR^3$ dato da:
f(x y z) := (x+y+z 0 0).
a) Si dica, motivando, se f è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard su $RR^3$
b) Si determini un prodotto scalare definito positivo su $RR^3$ rispetto al quale f risulti autoaggiunto.
Risposta:
a) f è autoaggiunto se $._c^tM_c(f)=._cM_c(f)$ con A:= $((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ chiaramente A non è uguale alla sua trasposta quindi f non è autoaggiunto.
b) per determinare tale prodotto scalare ho cercato di determinare la matrice G che lo rappresenta ed ho fatto:
$((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))*((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) = ((a,b,c),(a,b,c),(a,b,c))$
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))*((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0)) = ((a,a,a),(d,d,d),(g,g,g))$
ho quindi uguagliato le due matrici ottenute e dal sistema in a,b,c,d,e,f,g ottenuto ho ricavato la condizione: a=b=c=d=g
ho quindi messo arbitrariamente a = 1 e=2 f=h=0 i=4
e trovato $G=((1,1,1),(1,2,0),(1,0,4))$ ho poi verificato che così davvero le moltiplicazioni fatte sopra davano matrici uguali.
Domanda: io ho reso questa matrice G simmetrica ma era davvero necessario? potevo anche non sostituire i valori di e,f,h,i per i quali non avevo costrizioni ed esprimere G con tali lettere all'interno?
Ammesso che il mio procedimeto sia corretto, devo estrarre da G l'espressione del prodotto scalare? se si come faccio? ed in più devo dimostrare che il prodotto rappresentato da G sia effettivamente definito positivo?
Grazie per le risposte
Si consideri l'endomorfismo di $RR^3$ dato da:
f(x y z) := (x+y+z 0 0).
a) Si dica, motivando, se f è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard su $RR^3$
b) Si determini un prodotto scalare definito positivo su $RR^3$ rispetto al quale f risulti autoaggiunto.
Risposta:
a) f è autoaggiunto se $._c^tM_c(f)=._cM_c(f)$ con A:= $((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ chiaramente A non è uguale alla sua trasposta quindi f non è autoaggiunto.
b) per determinare tale prodotto scalare ho cercato di determinare la matrice G che lo rappresenta ed ho fatto:
$((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))*((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) = ((a,b,c),(a,b,c),(a,b,c))$
$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))*((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0)) = ((a,a,a),(d,d,d),(g,g,g))$
ho quindi uguagliato le due matrici ottenute e dal sistema in a,b,c,d,e,f,g ottenuto ho ricavato la condizione: a=b=c=d=g
ho quindi messo arbitrariamente a = 1 e=2 f=h=0 i=4
e trovato $G=((1,1,1),(1,2,0),(1,0,4))$ ho poi verificato che così davvero le moltiplicazioni fatte sopra davano matrici uguali.
Domanda: io ho reso questa matrice G simmetrica ma era davvero necessario? potevo anche non sostituire i valori di e,f,h,i per i quali non avevo costrizioni ed esprimere G con tali lettere all'interno?
Ammesso che il mio procedimeto sia corretto, devo estrarre da G l'espressione del prodotto scalare? se si come faccio? ed in più devo dimostrare che il prodotto rappresentato da G sia effettivamente definito positivo?
Grazie per le risposte
Risposte
perfavore, domani ho l'esame, qualcuno sà rispondere?
se hai una metrica [tex]G[/tex] il prodotto scalare è [tex]x^T G y[/tex]
un prodotto scalare è sempre simmetrico, per definizione
pensa a come viene fuori quella matrice quando hai una base non ortonormale.
ho letto veloce ciò che hai fatto ma la condizione dovrebbe essere [tex]F^T G=GF[/tex] quindi direi che hai fatto bene...
potevi lasciare le lettere che rimanevano indipendenti
un prodotto scalare è sempre simmetrico, per definizione
pensa a come viene fuori quella matrice quando hai una base non ortonormale.
ho letto veloce ciò che hai fatto ma la condizione dovrebbe essere [tex]F^T G=GF[/tex] quindi direi che hai fatto bene...
potevi lasciare le lettere che rimanevano indipendenti
ok... grazie mille per la risposta... 
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