Piccolo dubbio (forse stupido) sui sistemi lineari
mettiamo il caso generale in cui ho un sistema lineare non omogeneo del tipo:
$ { ( alphax+betay+gammaz+deltat=k ),( alpha'x+beta'y+gamma'z+delta't=k' ),( alpha''x+beta''y+gamma''z+delta''t=k'' ):} $
in cui arrivo a concludere che S (l'insieme delle soluzioni del sistema) è:
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
è la stessa cosa dire:
a)
$(i,l,m,n)$ è soluzione del sistema di partenza ed $S_0=<(a,b,c,d),(e,f,g,h)>$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema di partenza
è equivalente a dire:
b)
$S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ (cioè $S$ è lo spazio generato dai 3 vettori prima mostrati)
a) e b) esprimono lo stesso concetto in modo corretto?o è necessario esprimere il concetto in modo diverso?
$ { ( alphax+betay+gammaz+deltat=k ),( alpha'x+beta'y+gamma'z+delta't=k' ),( alpha''x+beta''y+gamma''z+delta''t=k'' ):} $
in cui arrivo a concludere che S (l'insieme delle soluzioni del sistema) è:
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
è la stessa cosa dire:
a)
$(i,l,m,n)$ è soluzione del sistema di partenza ed $S_0=<(a,b,c,d),(e,f,g,h)>$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema di partenza
è equivalente a dire:
b)
$S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ (cioè $S$ è lo spazio generato dai 3 vettori prima mostrati)
a) e b) esprimono lo stesso concetto in modo corretto?o è necessario esprimere il concetto in modo diverso?
Risposte
a) e b) non esprimono lo stesso concetto.
Comunque l'affermazione a) è vera.
Ma la b) no: osserva che l'insieme $S$ descritto all'inizio non è uno spazio vettoriale (tranne nel caso in cui sia $(i,l,m,n)=(0,0,0,0)$), mentre quello descritto nella b) lo è.
Comunque l'affermazione a) è vera.
Ma la b) no: osserva che l'insieme $S$ descritto all'inizio non è uno spazio vettoriale (tranne nel caso in cui sia $(i,l,m,n)=(0,0,0,0)$), mentre quello descritto nella b) lo è.
"cirasa":
osserva che l'insieme $S$ descritto all'inizio non è uno spazio vettoriale (tranne nel caso in cui sia $(i,l,m,n)=(0,0,0,0)$)
mi spieghi questa cosa?non l'ho ben capita
Ho semplicemente detto che, se $(i,l,m,n)!=(0,0,0,0)$, allora il vettore nullo non appartiene a
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
e quindi $S$ non è sottospazio vettoriale di $RR^4$.
Invece $S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ è naturalmente un sottospazio vettoriale.
Quindi questi due insiemi sono diversi.
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
e quindi $S$ non è sottospazio vettoriale di $RR^4$.
Invece $S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ è naturalmente un sottospazio vettoriale.
Quindi questi due insiemi sono diversi.
No, aspetta, forse non mi sto esprimendo nel modo giusto.
Abbiamo detto che l'insieme delle soluzioni del sistema (che immagino sia non omogeneo) può essere scritto come
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
dove
$(i,l,m,n)$ è una soluzione del sistema di partenza (se esiste, cioè nel caso in cui il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa).
$S_0=<(a,b,c,d),(e,f,g,h)>$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema di partenza.
(Il fatto che tu abbia scelto $S_0$ generato da quei due vettori mi fa pensare che tu stia supponendo che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a $2$, anche se questa tua assunzione non l'hai esplicitamente specificata).
E fin qui ci siamo.
Ora, quello che hai scritto dopo
Abbiamo detto che l'insieme delle soluzioni del sistema (che immagino sia non omogeneo) può essere scritto come
$S={z(a,b,c,d)+t(e,f,g,h)+(i,l,m,n)$ con $z,t in R}$
dove
$(i,l,m,n)$ è una soluzione del sistema di partenza (se esiste, cioè nel caso in cui il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa).
$S_0=<(a,b,c,d),(e,f,g,h)>$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema di partenza.
(Il fatto che tu abbia scelto $S_0$ generato da quei due vettori mi fa pensare che tu stia supponendo che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale a $2$, anche se questa tua assunzione non l'hai esplicitamente specificata).
E fin qui ci siamo.
Ora, quello che hai scritto dopo
"zipangulu":evidentemente non c'entra niente con quanto detto prima. Prima $(a,b,c,d)$ o $(e,f,g,h)$ erano soluzioni del sistema omogeneo associato. Ora, dicendo che appartengono ad $S$, affermi che sono soluzioni del sistema iniziale che non è omogeneo.
b)
$S=<(a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,l,m,n)>$ (cioè $S$ è lo spazio generato dai 3 vettori prima mostrati)
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