Piccolo dubbio algebra lineare

[darinter]

Se ci troviamo in un sottospazio lineare di dimensione $n$ ed abbiamo un insieme libero $S={v_1,v_2,...,v_n}$,S è sicuramente una base del sottospazio?Sappiamo che i vettori di S sono liberi e che la cardinalità di tale insieme è pari a n.Poichè n è il minimo numero di generatori,segue che è S è sicuramente una base del sottospazio?

[nirvana2]

Beh manca una condizione: l'indipendenza lineare. Cosa intendi con liberi?

[darinter]

"nirvana":Beh manca una condizione: l'indipendenza lineare. Cosa intendi con liberi?

Si,con liberi intendo che sono indipendenti linearmente.

[Domè891]

"darinter":[quote="nirvana"]Beh manca una condizione: l'indipendenza lineare. Cosa intendi con liberi?

Si,con liberi intendo che sono indipendenti linearmente.[/quote]

se $S$ ha $n$ vettori linearmente indipendenti, essi generano una base per $RR^n$

[gugo82]

"darinter":Se ci troviamo in un sottospazio lineare di dimensione $n$ ed abbiamo un insieme libero $S={v_1,v_2,...,v_n}$,S è sicuramente una base del sottospazio?Sappiamo che i vettori di S sono liberi e che la cardinalità di tale insieme è pari a n.Poichè n è il minimo numero di generatori,segue che è S è sicuramente una base del sottospazio?

Giusto.

Il tuo $S$ è quello che si chiama un insieme libero massimale in $V$ (Definizione: un insieme libero $T subset V$ si dice massimale se e solo se ogni insieme di vettori $T'$ che contiene propriamente $T$ non è libero) ed è una base a norma del seguente teorema:

Siano $V$ un $K$-spazio vettoriale finitamente generabile ($K$ campo) ed $S={v_1,\ldots ,v_n} subseteq V$.
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

1) $S$ è una base di $V$ e quindi $dim_K V=n$;

2) $S$ è un insieme libero massimale in $V$;

3) $S$ è un sistema minimale di generatori di $V$.

(Per completezza ti do pure la Definizione: un sistema $X$ di generatori di $V$ viene detto minimale quando qualunque parte propria $X''$ di $X$ non è un sistema di generatori di $V$.)