Piano reale passante per una retta
Salve, ho il secondo intermedio di algebra e geometria tra 2 settimane e vorrei aiuto per il seguente esercizio.Grazie in anticipo!
Si determini,se esiste, il piano reale passante per la retta r:x+(3+i)y=(2-i)x-z-1=0
Ho provato a dividere la parte reale da quella immaginaria ma non coincide con il risultato dato dal testo.
Si determini,se esiste, il piano reale passante per la retta r:x+(3+i)y=(2-i)x-z-1=0
Ho provato a dividere la parte reale da quella immaginaria ma non coincide con il risultato dato dal testo.
Risposte
Ciao Stark, è un'esercizio abbastanza complicato e abbastanza lungo.
In teoria sappiamo che se una retta è di prima specie , cioè risulta complanare con la sua coniugata, allora esiste un solo punto reale di incidenza tra i 2 ed esiste un piano reale che le contiene entrambe.
Primo step quindi dovrai verificare che la retta è complanare alla sua coniugata e troverai il punto di incidenza reale in $P=(0,0,-1)$ ora questo è l'unico punto reale.
secondo step è quello di trovare un punto appartenente alla coniugata della retta r diverso da P. io ho $Q=(-3i-1,i,-7i)$ (naturalmente non saranno reali, poiché precedentemente abbiamo detto che esiste un solo punto reale).
Questi valori apparterranno al fascio che formerà il nostro piano della retta 'r' quindi : $F_r:x+(3+i)y+k[(2-i)x-z-1]$ imponendo il passaggio per $Q$ otterrai $k=1/(i-3)$ sostituendo al fascio il valore di $k$ ottieni proprio il piano cercato di equazione :
$alpha: x+10y+z+1=0$
Nota : attenzione, il problema dice 'se esiste' perché se fosse stata una retta di seconda specie potevamo fermarci li dicendo, appunto, che non esiste alcun piano reale.
In teoria sappiamo che se una retta è di prima specie , cioè risulta complanare con la sua coniugata, allora esiste un solo punto reale di incidenza tra i 2 ed esiste un piano reale che le contiene entrambe.
Primo step quindi dovrai verificare che la retta è complanare alla sua coniugata e troverai il punto di incidenza reale in $P=(0,0,-1)$ ora questo è l'unico punto reale.
secondo step è quello di trovare un punto appartenente alla coniugata della retta r diverso da P. io ho $Q=(-3i-1,i,-7i)$ (naturalmente non saranno reali, poiché precedentemente abbiamo detto che esiste un solo punto reale).
Questi valori apparterranno al fascio che formerà il nostro piano della retta 'r' quindi : $F_r:x+(3+i)y+k[(2-i)x-z-1]$ imponendo il passaggio per $Q$ otterrai $k=1/(i-3)$ sostituendo al fascio il valore di $k$ ottieni proprio il piano cercato di equazione :
$alpha: x+10y+z+1=0$
Nota : attenzione, il problema dice 'se esiste' perché se fosse stata una retta di seconda specie potevamo fermarci li dicendo, appunto, che non esiste alcun piano reale.
Ho eseguito l'esercizio come hai detto tu,ora risulta tutto più chiaro! Grazie mille Anacleto13
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