Piano per un punto e una retta

[indovina]

Data una retta $r$ di equazione:

$x=1+t$
$y=-1$
$z=t$

e il punto:

$A=(2,0,-1)$

i) verificare che il punto non appartiene alla retta

Per prima cosa metto la retta in forma cartesiana:
$x-z-1=0$
$x-y-z=0$

metto le coordinate del punto nell'equazione
$2+1-1=/0$
$2+1=/0$
è verificato che non appartiene alla retta $r$

ii) rappresentazione del piano passante per $A$ ed $r$
prendo l'equazione del fascio:

$a(x-z-1)+b(x-y-z)=0$
passaggio per $A$
$a(2+1-1)+b(2+1)=0$
$2a+3b=0$
$a=-(3/2)*b$
vado a mettere questo valore cosi mi tolgo i parametri e viene:
TT: $x+2y-z-3=0$

iii) rappresentare la retta $s$ passante per $A$ e ortogonale ed incidente ad $r$
qui mi sono fermato.
perchè vedo la retta $s$ come intersezione di due piani
TT' e TT''
metto in queste equazioni e faccio la matrice associata?

[cirasa]

Non ho controllato i conti, però i punti i) e ii) mi sembrano giusti.
Per il punto iii) vedi qui.

[Needhana]

Per fare cioè determiniamo due piani la cui intersezione mi da la retta t :

t= (piano contenente r e P) $nn$ (piano passante per P e ortogonale a r)


Per la prima usiamo l'equazione del fascio proprio di piano

Per la seconda ci calcoliamo i numeri direttori di r i quali saranno i coefficienti del piano prtogonale.

[indovina]

Io ho fatto cosi:
Voglio sperare sia fatto bene ora:

primo passaggio: TT' passante per A e ortogonale ad $r$ avente come vettore direttore $V_r=L(1,0,1)$

$n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0$

$x-2+z+1=0$

TT': $x+z-1=0$

secondo passaggio: intersezione TT' con $r$:
a sistema:
$x+z-1=0$
$x-z-1=0$
$x-y-z=0$

trovo il punto $Q$ di intersezione: $Q=(1,1,0)$

terzo passaggio: equazione della retta $s$ passante per i punti noti $A$ e $Q$:

viene: $x-y-2=0$
$y-z-1=0$

ho usato questa formula:
a sistema:
$x=x_0+t(x_1-x_0)$
$y=y_0+t(y_1-y_0)$
$z=z_0+t(z_1-z_0)$