Piano per un punto e ortogonale a un vettore

[francescoric92]

Siano dati i punti:

A=$((0),(0),(1))$ B=$((1),(1),(0))$ C=$((1),(0),(-1))$ D=$((1),(0),(1))$ E=$((0),(1),(1))$

e il vettore:

v=$((1),(1),(1))$


1)Si determini un'equazione cartesiana del piano $\pi$ passante per A,B,C.
2)Si determini un'equazione cartesiana del piano $\rho$ passante per D e ortogonale a v.
3)Si determini un'equazione per la retta r passante per E e parallela a $\pi$,$\rho$

Allora il primo punto l'ho risolto,infatti ho trovato l'equazione cartesiana mettendo a sistema i tre punti,e poi sostituendoli nell'equazione cartesiana di riferimento(ax+by+cz=d):
A: c=d
B: a+b=d
C: a-c=d
da cui ho ricavato a=2,b=-1,c=1,d=1
quindi l'equazione finale è 2x-y+z=1
Però come risolvo gli altri 2 punti dell'esercizio??
Help me,please

[ludwigZero]

Per il primo punto io farei diversamente, cioè usando il metodo matriciale.
Ti servono due direzioni
nella prima colonna metti:
$C-A$
e nella seconda:
$C-B$
nella terza colonna invece:
$(x,y,z)-C$

vedi se ti trovi lo stesso con il tuo risultato.

[francescoric92]

il primo è giustissimo,l'ho fatto controllare dal professore e ha detto che va bene,indubbiamente sarà giusto anche come dici te...però il problema è il 2) e il 3)

[ludwigZero]

quel vettore v, è il vettore direttore di un piano o di una retta?

eq. di una piano:

$a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0 ) = 0$

passaggio per D

$a (x - 1) + b (y ) + c (z - 1 ) = 0$

[francescoric92]

sul compito non c'è specificato..quindi per essere ortogonale,basta solo inserire il vettore ortogonale nell'equazione
generale?una volta trovato,il punto D,dove lo inserisco?posso fare come ho fatto nel primo punto?
Cioè diventa a+c=d
e quest'equazione la metto a sistema con quella che mi hai dato te?ok?

[ludwigZero]

No, dato che non è specificato se quel $(1,1,1)$ è un vettore direttore per una retta o per un piano,
almeno io farei entrambe le condizioni, cioè:

1)condizione ortogonalità tra due piani
2) condizione ortoganalità tra piano e retta

il passaggio per D è (nel piano):

$a(x-1) + b y + c (z - 1) = 0$

le condizioni 1) e 2) le conosci?

[francescoric92]

Sinceramente non saprei...
Per ortogonalità, non si intende che il prodotto scalare (a,b,c)*(a1,b1,c1)=0 dei vettori direttori deve essere uguale a zero?Però nel problema,come faccio a impostare questa condizione?

[francescoric92]

Allora ho trovato la soluzione:

1(x - 1)+1(y - 0)+1(z - 1)=0
da cui si ricava che l'equazione è
x+y+z=2
Per l'ultimo punto come devo procedere?