Piano per un punto e ortogonale a un vettore

francescoric92
Siano dati i punti:

A=$((0),(0),(1))$ B=$((1),(1),(0))$ C=$((1),(0),(-1))$ D=$((1),(0),(1))$ E=$((0),(1),(1))$

e il vettore:

v=$((1),(1),(1))$


1)Si determini un'equazione cartesiana del piano $\pi$ passante per A,B,C.
2)Si determini un'equazione cartesiana del piano $\rho$ passante per D e ortogonale a v.
3)Si determini un'equazione per la retta r passante per E e parallela a $\pi$,$\rho$

Allora il primo punto l'ho risolto,infatti ho trovato l'equazione cartesiana mettendo a sistema i tre punti,e poi sostituendoli nell'equazione cartesiana di riferimento(ax+by+cz=d):
A: c=d
B: a+b=d
C: a-c=d
da cui ho ricavato a=2,b=-1,c=1,d=1
quindi l'equazione finale è 2x-y+z=1
Però come risolvo gli altri 2 punti dell'esercizio??
Help me,please :)

Risposte
ludwigZero
Per il primo punto io farei diversamente, cioè usando il metodo matriciale.
Ti servono due direzioni
nella prima colonna metti:
$C-A$
e nella seconda:
$C-B$
nella terza colonna invece:
$(x,y,z)-C$

vedi se ti trovi lo stesso con il tuo risultato.

francescoric92
il primo è giustissimo,l'ho fatto controllare dal professore e ha detto che va bene,indubbiamente sarà giusto anche come dici te...però il problema è il 2) e il 3)

ludwigZero
quel vettore v, è il vettore direttore di un piano o di una retta?

eq. di una piano:

$a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0 ) = 0$

passaggio per D

$a (x - 1) + b (y ) + c (z - 1 ) = 0$

francescoric92
sul compito non c'è specificato..quindi per essere ortogonale,basta solo inserire il vettore ortogonale nell'equazione
generale?una volta trovato,il punto D,dove lo inserisco?posso fare come ho fatto nel primo punto?
Cioè diventa a+c=d
e quest'equazione la metto a sistema con quella che mi hai dato te?ok?

ludwigZero
No, dato che non è specificato se quel $(1,1,1)$ è un vettore direttore per una retta o per un piano,
almeno io farei entrambe le condizioni, cioè:

1)condizione ortogonalità tra due piani
2) condizione ortoganalità tra piano e retta

il passaggio per D è (nel piano):

$a(x-1) + b y + c (z - 1) = 0$

le condizioni 1) e 2) le conosci?

francescoric92
Sinceramente non saprei...
Per ortogonalità, non si intende che il prodotto scalare (a,b,c)*(a1,b1,c1)=0 dei vettori direttori deve essere uguale a zero?Però nel problema,come faccio a impostare questa condizione?

francescoric92
Allora ho trovato la soluzione:

1(x - 1)+1(y - 0)+1(z - 1)=0
da cui si ricava che l'equazione è
x+y+z=2
Per l'ultimo punto come devo procedere?

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