Piano per punto ortogonale a piano e parallelo a retta

[lex1531]

questo esercizio mi sta facendo uscire pazzo! aiuto!

rappresendatare il piano $ B' $ passante per $ Q(0,2,-2) $ ortogonale ad $ A: x-2y+1=0 $ e parallelo ad r per $ A(2,-3,1); B(3,-1,2) $

r me la sono trovata con:

$ [(x-2)/(3-2)]+[(y+3)/(-1+3)]+[(z-1)/(2-1)]={ ( 2x-y-7 ),( y-2z+5 ):}rarr{ ( x=k ),( y=-7+2k ),( z=6-k ):} $

e poi mi perdo!

[^Tipper^1]

Passaggio per $Q-> 2b-2c+d=0$

Ortogonalità con il piano: $a-2b=0$

Parallelismo con la retta: $-a-2b-c=0$ avendo scelto $V_r=(-1,-2,-1)$

Metti a sistema queste tre equazioni ${(2b-2c+d=0),(a-2b=0),(-a-2b-c=0):}$

[lex1531]

grazie! grandioso!

[lex1531]

ne approfitto:

retta t' passante per $ T(-1,1,3) $ parallela ad $ A: x-2y+1=0 $ ed ortogonale ad r

l'equazione della generica retta per T è $ { ( x=-1+lk ),( y=1+mk ),( z=3+nk ):} $

ortogonale ad r con $ V_r=(1,2,-1) $ è $ l-2m=0 $

ortogonale ad r è $ l+2m-n=0 $

solo che mo ho la retta parametrica, come faccio?

[^Tipper^1]

Parallelimso con il piano $(l,m,n)*(1,-2,0)=0$, ortogonalità con la retta $(l,m,n)*(1,2,-1)=0$ Dopodiché metti a sistema queste due condizioni.

[lex1531]

però manca lo stesso un equazione, ho tre incognite quindi dovrei avere tre equazioni per risolvere!

[^Tipper^1]

Risolvendo il sistema trovi che ${(l=2m),(n=4m):}$, quindi il vettore direttore sarà nella forma $(2m,m,4m)$. Poni per esempio $m=1$ e trovi che il vettore direttore è $(2,1,4)$. Fai una verifica e troverai che questa retta che hai appena trovato $s:{(x=2lambda-1),(y=lambda+1),(z=4lambda+3):}$ rispetta le condizioni di partenza, cioè che sia parallela al piano e ortogonale alla retta.

[lex1531]

a ok, quindi è al variare di m!