Piano passante per un punto e parallelo a due rette
Continuando a prepararmi per l'esame di geometria vorrei verificare che i procedimenti che ho adottato per la risoluzione di alcuni esercizi sono corretti 
Determinare il piano passante per il punto \(\displaystyle P(1,-1,0) \) e parallelo alle rette
\( r: \begin{cases} x-y + z = 0 \\ y + z -1 = 0 \end{cases} \)
\( s: \begin{cases} 2x-1 = 0 \\ x+ y - z = 0 \end{cases} \)
Se non ho capito male bisogna calcolare il determinante della matrice
\( \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} \)
dove la prima riga è il passaggio per il punto P, la seconda è il parallelismo con la retta r e la terza il parallelismo con la retta s.
Quindi si procede a trovare i vettori direttori delle due rette
\( r = \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{cases} \Longrightarrow v_1 =(-1,-1,1) \)
\( r = \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = t -\frac{1}{2} \\ z = t \end{cases} \Longrightarrow v_2 =(0,1,1) \)
si effettuano le dovute sostituzioni nella matrice di prima, si calcola il determinante
\( det\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-2x+y-z+3 \)
quindi il nostro piano è \(\displaystyle 2x+y-z+3=0 \)
Spero di aver fatto tutto correttamente
Ringrazio tutti in anticipo per eventuali correzioni
Determinare il piano passante per il punto \(\displaystyle P(1,-1,0) \) e parallelo alle rette
\( r: \begin{cases} x-y + z = 0 \\ y + z -1 = 0 \end{cases} \)
\( s: \begin{cases} 2x-1 = 0 \\ x+ y - z = 0 \end{cases} \)
Se non ho capito male bisogna calcolare il determinante della matrice
\( \begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} \)
dove la prima riga è il passaggio per il punto P, la seconda è il parallelismo con la retta r e la terza il parallelismo con la retta s.
Quindi si procede a trovare i vettori direttori delle due rette
\( r = \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{cases} \Longrightarrow v_1 =(-1,-1,1) \)
\( r = \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = t -\frac{1}{2} \\ z = t \end{cases} \Longrightarrow v_2 =(0,1,1) \)
si effettuano le dovute sostituzioni nella matrice di prima, si calcola il determinante
\( det\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-2x+y-z+3 \)
quindi il nostro piano è \(\displaystyle 2x+y-z+3=0 \)
Spero di aver fatto tutto correttamente
Ringrazio tutti in anticipo per eventuali correzioni
Risposte
Non mi sembra che tu abbia "adottato" dei procedimenti su cui ci sia da verificare l'attendibilità, ma che abbia "imparato" un metodo per risolvere questi esercizi, la domanda è " hai capito perché si utilizza quel metodo? "
non proprio, me lo spiegheresti?
Guarda a dire il vero non conosco questo metodo, io di solito sono abituato a risolvere questi tipi di problemi senza usare particolari metodi ma "sporcandomi le mani"
Per esempio, in questo esercizio io prenderei la generica equazione del piano: $ax+by+cz+d=0$, che ha vettore direttore $v=(a,b,c)$, dato che il piano deve essere parallelo a quelle due rette, significa che i vettori direzione delle due rette devono essere perpendicolari al vettore direzione del piano, pertanto si fa il prodotto scalare tra $(a,b,c)$ e i due vettori direzione delle rette da te trovati, si trova che $(a,b,c)$ è del tipo: $(2t,-t,t)$, andandoli a sostituire nella equazione originaria e facendo il passaggio per il punto si ottiene $d=-3t$, pertanto l'equazione del piano è:
$2tx-ty+tz-3t=0$
Dividendo il tutto per $t$:
$2x-y+z-3=0$
La tua soluzione è sbagliata, infatti quel piano da te individuato non passa per quel punto (basta sostituire).
Comunque il tuo metodo mi sembra molto più veloce, però prima di usare un metodo bisogna capirne il perché, nel tuo libro di testo lo espone come verità assoluta o ne da una dimostrazione? Se ne da una dimostrazione magari postala qui e ti posso spiegare cosa non ti è chiaro.
Anzi no, la tua soluzione è giusta, solo che hai sbagliato i segni nel risultato finale.
Per esempio, in questo esercizio io prenderei la generica equazione del piano: $ax+by+cz+d=0$, che ha vettore direttore $v=(a,b,c)$, dato che il piano deve essere parallelo a quelle due rette, significa che i vettori direzione delle due rette devono essere perpendicolari al vettore direzione del piano, pertanto si fa il prodotto scalare tra $(a,b,c)$ e i due vettori direzione delle rette da te trovati, si trova che $(a,b,c)$ è del tipo: $(2t,-t,t)$, andandoli a sostituire nella equazione originaria e facendo il passaggio per il punto si ottiene $d=-3t$, pertanto l'equazione del piano è:
$2tx-ty+tz-3t=0$
Dividendo il tutto per $t$:
$2x-y+z-3=0$
La tua soluzione è sbagliata, infatti quel piano da te individuato non passa per quel punto (basta sostituire).
Comunque il tuo metodo mi sembra molto più veloce, però prima di usare un metodo bisogna capirne il perché, nel tuo libro di testo lo espone come verità assoluta o ne da una dimostrazione? Se ne da una dimostrazione magari postala qui e ti posso spiegare cosa non ti è chiaro.
Anzi no, la tua soluzione è giusta, solo che hai sbagliato i segni nel risultato finale.
Anzi, ho capito il perché di quel metodo.
Un piano passante per $(x_0,y_0,z_0)$ si scrive come $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, con $v=(a,b,c)$ il vettore direzione del piano, ossia un vettore sempre perpendicolare al piano.
Quanto vale $v=(a,b,c)$?, non ha un valore particolare, infatti qualunque vettore perpendicolare al piano va bene, quindi ci basta trovarne uno, tutti gli altri saranno suoi multipli. Questo valore particolare che si cerca si può trovare in due modi, o facendo come me prima, ossia il prodotto scalare tra $v$ e i vettori delle rette e trovando una forma "generale" del vettore $v$, infatti a me tornava un vettore generale del tipo $(2t,-t,t) t in RR$; oppure facendo il prodotto scalare tra i vettori delle rette, infatti il prodotto scalare restituisce un vettore perpendicolare ai due vettori, ossia quello che si cerca noi:
Sappiamo che se $u=(a_1,a_2,a_3)$ e $w=(b_1,b_2,b_3)$ sono due vettori, il loro prodotto vettoriale è:
$u xx w=((a_2b_3-a_3b_2),(a_3b_1-a_1b_3),(a_1b_2-a_2b_1))$
Pertanto l'equazione del piano è:
$(x-x_0)(a_2b_3-a_3b_2)+(y-y_0)(a_3b_1-a_1b_3)+(z-z_0)(a_1b_2-a_2b_1)=0$
Questo si può scrivere più compattamente come il determinante della matrice da te indicata.
Un piano passante per $(x_0,y_0,z_0)$ si scrive come $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, con $v=(a,b,c)$ il vettore direzione del piano, ossia un vettore sempre perpendicolare al piano.
Quanto vale $v=(a,b,c)$?, non ha un valore particolare, infatti qualunque vettore perpendicolare al piano va bene, quindi ci basta trovarne uno, tutti gli altri saranno suoi multipli. Questo valore particolare che si cerca si può trovare in due modi, o facendo come me prima, ossia il prodotto scalare tra $v$ e i vettori delle rette e trovando una forma "generale" del vettore $v$, infatti a me tornava un vettore generale del tipo $(2t,-t,t) t in RR$; oppure facendo il prodotto scalare tra i vettori delle rette, infatti il prodotto scalare restituisce un vettore perpendicolare ai due vettori, ossia quello che si cerca noi:
Sappiamo che se $u=(a_1,a_2,a_3)$ e $w=(b_1,b_2,b_3)$ sono due vettori, il loro prodotto vettoriale è:
$u xx w=((a_2b_3-a_3b_2),(a_3b_1-a_1b_3),(a_1b_2-a_2b_1))$
Pertanto l'equazione del piano è:
$(x-x_0)(a_2b_3-a_3b_2)+(y-y_0)(a_3b_1-a_1b_3)+(z-z_0)(a_1b_2-a_2b_1)=0$
Questo si può scrivere più compattamente come il determinante della matrice da te indicata.
Grazie mille! ora ho capito perchè si fa il determinante di quella matrice!
E' più semplice di quello che mi aspettavo
Devo solo fare attenzione a non sbagliare segni
E' più semplice di quello che mi aspettavo
Devo solo fare attenzione a non sbagliare segni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo