Piano passante per retta ed ortogonale ad altro piano
Buongiorno,
retta r: 2y−4=z e x-2=z
piano α: 2 x + 2 y + z = 0
Trovata intersezione punto Q agilmente in (0,1-2).
Trasformo r in forma parametrica con z=t ed ottengo vettore direzione v(1;1/2;1)
n (α) =(2,2,1) Vettore normale al piano alfa.
Come faccio a trovare il pianoβ contenente retta r ed ortogonale a piano α?
retta r: 2y−4=z e x-2=z
piano α: 2 x + 2 y + z = 0
Trovata intersezione punto Q agilmente in (0,1-2).
Trasformo r in forma parametrica con z=t ed ottengo vettore direzione v(1;1/2;1)
n (α) =(2,2,1) Vettore normale al piano alfa.
Come faccio a trovare il pianoβ contenente retta r ed ortogonale a piano α?
Risposte
Tu vuoi un piano $\beta$ ortogonale ad $\alpha$ e che contiene la retta $r$.
Affinché due piani siano ortogonali, devono essere ortogonali anche i loro normali, ovvero $n(\alpha) \cdot n(\beta) = 0$.
Dato che un piano è descritto da una equazione della forma: $ax+by+cz+d=0$, con $(a,b,c) = n(\beta)$, affinché tale piano contenga la retta $r$, vuol dire che le equazioni di $r$ devono risolvere l'equazione del piano; in particolare la direzione $v_r = (1,1/2,1)$ deve essere tale che $a +b/2 + c = 0$, ovvero $n(\beta) \cdot v_r = 0$.
Cerchiamo allora un vettore perpendicolare sia alla direzione della retta $v_r = (1,1/2,1)$, sia a $n(\alpha) = (2,2,1)$, per farlo faccio il prodotto vettore $v_r \times n(\alpha) = (-3/2 ,1,1)$.
Considero ora il piano $-3/2 x + y + z + d = 0$ e impongo il passaggio per la retta $r: (2,2,0) + t(1,1/2,1)$, perché, dato che $r$ deve essere contenuta in $\beta$, vuol dire che deve risolvere l'equazione:
$-3/2 (2+t) + 2 +t/2 + t + d = 0 \Rightarrow -3+2+d=0 \Rightarrow d = 1$.
Il piano cercato è dunque $\beta: -3/2 x + y +z +1 = 0$.
Affinché due piani siano ortogonali, devono essere ortogonali anche i loro normali, ovvero $n(\alpha) \cdot n(\beta) = 0$.
Dato che un piano è descritto da una equazione della forma: $ax+by+cz+d=0$, con $(a,b,c) = n(\beta)$, affinché tale piano contenga la retta $r$, vuol dire che le equazioni di $r$ devono risolvere l'equazione del piano; in particolare la direzione $v_r = (1,1/2,1)$ deve essere tale che $a +b/2 + c = 0$, ovvero $n(\beta) \cdot v_r = 0$.
Cerchiamo allora un vettore perpendicolare sia alla direzione della retta $v_r = (1,1/2,1)$, sia a $n(\alpha) = (2,2,1)$, per farlo faccio il prodotto vettore $v_r \times n(\alpha) = (-3/2 ,1,1)$.
Considero ora il piano $-3/2 x + y + z + d = 0$ e impongo il passaggio per la retta $r: (2,2,0) + t(1,1/2,1)$, perché, dato che $r$ deve essere contenuta in $\beta$, vuol dire che deve risolvere l'equazione:
$-3/2 (2+t) + 2 +t/2 + t + d = 0 \Rightarrow -3+2+d=0 \Rightarrow d = 1$.
Il piano cercato è dunque $\beta: -3/2 x + y +z +1 = 0$.
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