Piano passante per P parallelo ai piani

[giuliodanieli]

Giorno ragazzi, stavo facendo qualche esercizio di teoria e mi sono imbattuto in questi 2 quesiti dai quali questa mattina non riesco ad uscirne.
Discutere la veridicità delle seguenti affermazioni, motivando le risposte.

a- esiste unico il piano passante per un punto P che sia parallelo ai piani $\pi$: aX+bY+cZ+d=0 e $\pi$': aX'+bY'+cZ'+d'=0 con
r$|(a,b,c),(a',b',c')|$=2

b- esiste unico il piano passante per un punto P che sia parallelo ai piani $\pi$e $\pi$' con
r$|(a,b,c),(a',b',c')|$>=1


Ragazzi datemi un piccolo aiuto helppp

premetto che ho ipotizzato una cosa per quanto riguarda il primo quesito.
La stessa retta può essere individuata da infiniti piani, quindi nella generica retta li illustrata esiste sempre un unico piano passante per p e parallelo alla retta..

[GSnake]

Per la A io ho fatto questo ragionamento: il piano dovrà essere per forza proporzionale o meglio, combinazione lineare degli altri due, quindi aggiungendo una riga alla matrice, il rango non dovrà cambiare. Inoltre, orlando la matrice con la colonna dei termini noti non ci dovrà essere un incremento di rango in quanto altrimenti i piani non si intersecherebbero mai. Dunque la risposta rango = 2 è veritiera. Correggimi se sbaglio

[giuliodanieli]

il ragionamento non fà una piega mi sembra, però non riesco a spiegarlo in maniera rigorosa e veloce

[Quinzio]

Allora i piani $x+y+z=0$ e $2x+2x+2z=0$
sono in realtà lo stesso piano, giusto ?
Sono lo stesso piano siccome $(a,b,c)$ e $(a',b',c')$ sono linearmente dipendenti e quindi la matrice dell'esercizio ha rango 1.
Invece se la matrice ha rango due i piani sono necessariamente diversi.

[giuliodanieli]

ottimo ti ringrazio!!

[GSnake]

"Quinzio":Allora i piani $x+y+z=0$ e $2x+2x+2z=0$
sono in realtà lo stesso piano, giusto ?
Sono lo stesso piano siccome $(a,b,c)$ e $(a',b',c')$ sono linearmente dipendenti e quindi la matrice dell'esercizio ha rango 1.
Invece se la matrice ha rango due i piani sono necessariamente diversi.

Quindi ho praticamente detto una stupidaggine. Essendo il rango due, i piani si intersecano creando formando così una retta infinita... o no? O il "tipo" di intersezione dipende poi dal rango della colonna dei termini noti? (Se $r[A|b] > rA$ allora non si intersecano mai ad esempio)