Piano passante per P parallelo ad r ed s

[fhabbio]

In $RR^3$ sono dati il punto $P(1,0,1)$, la retta $r:$$\{(x - z + 1 = 0),(2x + y - 3 = 0):}$ e la retta $s:$$\{(x - 4z + 3 = 0),(y = 0):}$

determinare il piano passante P e parallelo ad r ed s.

Per prima cosa mi sono trovato i vettori di direzione delle rette che sono $v_r=(1,-2,1)$ e $v_s=(4,0,1)$
e ho scritto in tal modo il piano $\alpha$ imponendo il passaggio per il punto P

$\alpha:$$\{(x = t + 4s + 1),(y = -2t),(z = t + s + 1):}$

non avendo soluzioni a disposizione mi appello a voi!
mi chiedo è corretto il procedimento adottato???

grazie in anticipo per la disponibilità

[Geppo2]

Concordo. Tra l'altro l'equazione cartesiana del piano mi viene $2x-3y-8z+6=0$, che dovrebbe coincidere con quella parametrica che hai trovato tu.

[fhabbio]

grazie, per la risposta:) quasi non ci speravo più xD
ma comunque puoi spiegarmi come hai fatto da là a ricavare l'equazione cartesiana?

[Geppo2]

Si passa dall'equazione parametrica (che contiene tre equazioni) a quella cartesiana ricavando un parametro (es. $t$) da una equazione e sostituirlo in un'altra, da cui ricavi il secondo parametro ($s$). Sostituisci tutto nell'ultima in cui i parametri sono scomparsi.

[fhabbio]

no!!xD scusate mi sono spiegato da cani xD
non volevo sapere come si passa dalla parametrica alla cartesiana!xDxD
mi chiedevo come hai fatto, con i dati forniti (il punto P, la retta r e la retta s), a ricavarti il piano in questione...
Il procedimento che hai seguito qual è?xD
Spero che ora non ci siano fraintendimenti
scusate il disagio e perdonate l'ignoranza

[Geppo2]

No problem, ho frainteso io la richiesta. Nell'equazione del piano $ax+by+cz+d=0$, $(a, b, c)$ è il vettore normale al piano. Tale vettore dovrà essere normale sia a $v_r$ sia a $v_s$ (dovendo essere il piano parallelo a quest'ultimi), per cui lo posso determinare facendo il prodotto vettoriale tra $v_r$ e $v_s$. Trovati a, b, c, trovo d imponendo il passaggio per P.