Piano passante per p parallelo ad r ed ortogonale.....
Determinare il piano per l'origine che risulta parallelo alla retta r : x + z + 1 = y -3z = 0
e perpendicolare al piano v : 2x + y -3z = 0
Ho provato 100 cose che se vi sto ad elencre finisco domani, tra cui anche il fascio piani (credo la srada più giusta)
se qualcuno pu mi aiuti grazie!
e perpendicolare al piano v : 2x + y -3z = 0
Ho provato 100 cose che se vi sto ad elencre finisco domani, tra cui anche il fascio piani (credo la srada più giusta)
se qualcuno pu mi aiuti grazie!
Risposte
Potresti procedere anche solo per via analitica, cioè sapendo che i parametri direttori di $r$ sono $(-1,3,1)$ imponi il parallelismo di un generico piano per l'origine con $r$ ed ottieni $a=3b+c$ Imponendo la perpendicolarità con $v$ otteni $c=7b$ da cui $a=10b$. Poichè sono tutti proporzionali tra loro scegliamo $b=1$ ed abbiamo il piano $pi:10x+y+7z=0$
non ho capito come impostare la perpendicolarità!!!! helpp!!
due piani di equazioni $ax+by+cz+d=0$ e $a'x+b'y+c'z+d'=0$ sono perpendicolari se $a$$a'+b$$b'+c$$c'=0$
Scusami ma non riesco aproprio a seguire i passaggi, come esce quel 7b, il raggionamento l'ho capito ma non riesco a capire le sostituzioni.
Grazie.
Grazie.
prendiamo un generico piano $ax+by+cz+d=0$ e imponiamo che passi per $O$ e che sia parallelo a $r$. Applicando la formula $al+bm+cn=0$ abbiamo $-a+3b+c=0$ da cui ricaviamo $a=3b+c$. Quindi il nostro piano sarà $(3b+c)x+by+cz=0$. Imponendo la perpendicolarità con il piano $v$, secondo le formule riportate sopra, otteniamo $2(3b+c)+ 1b -3c=0$ da cui $c=7b$ e quindi $a=10b$
Ora poichè tutto dipende da un solo parametro, e poichè sappiamo che essi sono definiti tutti a meno di una costante di proporzionalità non nulla, possiamo scegliere $b=1$ ed ottenere il piano desiderato.
Ora poichè tutto dipende da un solo parametro, e poichè sappiamo che essi sono definiti tutti a meno di una costante di proporzionalità non nulla, possiamo scegliere $b=1$ ed ottenere il piano desiderato.
puoi anche considerare una costruzione geometrica. Prendi una retta $t$ parallela ad $r$ per l'origine, costruisci un fascio di piani con asse la nostra retta $t$ ed imponi che sia perpendicolare a $v$
Grazie 1000, questo metodo non l'avevo mai visto, è possibile applicarlo anche con un piano che passa per un punto definito?
se il piano fosse perpendicolare ad r come sarebbe il provedimento?
Grazie davvero, sei stato la mia salvezza!
se il piano fosse perpendicolare ad r come sarebbe il provedimento?
Grazie davvero, sei stato la mia salvezza!
Scusami non riesco a capire per bene le tue richieste... Puoi formularle in maniera più chiara?
Volevo dire, questo metodo posso usarlo anche utilizzando un piano che passa per un punto ben preciso (1,2,3)?
Posso usare lo stesso metodo imponendo magari la PERDPENDICOLARITA' con r invece che il parallelismo?
Posso usare lo stesso metodo imponendo magari la PERDPENDICOLARITA' con r invece che il parallelismo?
certo, basta imporre che passi per $(1,2,3)$ e ricavarti il coefficiente $d$ del piano.
Per imporre che un piano sia perpendicolare ad una retta è sufficiente che abbia gli stessi parametri direttori. se $l,m,n$ sono i parametri direttori di $r$ il piano $pi:lx+my+nz+k=0$ sarà un piano ad essa ortogonale
Per imporre che un piano sia perpendicolare ad una retta è sufficiente che abbia gli stessi parametri direttori. se $l,m,n$ sono i parametri direttori di $r$ il piano $pi:lx+my+nz+k=0$ sarà un piano ad essa ortogonale
grazie, ma non riesco a capire come faccio a imporre il passaggio del piano AD UN SOLO PUNTO! cioè, nel caso in cui il piano passava per (1,2,3) dove andava sostituito il punto?
Penso vada sostituito al posto di x,y,z ma qualche cosa non torna, in questo modo se il piano passa per l'origine l'equazione sarebbe nulla quindi sbaglio nel ragioanamento grazie.
Penso vada sostituito al posto di x,y,z ma qualche cosa non torna, in questo modo se il piano passa per l'origine l'equazione sarebbe nulla quindi sbaglio nel ragioanamento grazie.
Vediamo se riesco ad essere chiaro:
Un piano ha equazione generica $ax+by+cz+d=0$. Quando noi imponiamo il parallelismo, la perpendicolarità, lavoriamo soltanto sui coefficienti $a,b,c$ $d$ invece lo lasciamo libero di variare. Se pensi graficamente nello spazio questo non è difficile. Se abbiamo una retta, di piani paralleli o perpendicolari a questa retta ne abbiamo infiniti, mentre se imponiamo il passaggio per un punto riduciamo le possibilità (e nel caso di perpendicolarità lo determiniamo univocamente)!
Come impostare il passaggio per un punto?
Sostituiamo a $x,y,z$ le coordinate del punto e facciamo in modo (con un $d$ opportuno$ di verificare l'equazione.
Faccio un esempio numerico, magari è tutto più chiaro.
Consideriamo il piano $x+2y-z+2=0$. Vogliamo determinare il piano parallelo che passa per $P(1,2,0)$. Allora consideriamo il fascio di piani paralleli $x+2y-z+k=0$, imponiamo che il punto vi appartenga $1+2*2-0+k$ e determiniamo $k=-5$. Quindi il piano cercato sarà $x+2y-z-5=0$
Un piano ha equazione generica $ax+by+cz+d=0$. Quando noi imponiamo il parallelismo, la perpendicolarità, lavoriamo soltanto sui coefficienti $a,b,c$ $d$ invece lo lasciamo libero di variare. Se pensi graficamente nello spazio questo non è difficile. Se abbiamo una retta, di piani paralleli o perpendicolari a questa retta ne abbiamo infiniti, mentre se imponiamo il passaggio per un punto riduciamo le possibilità (e nel caso di perpendicolarità lo determiniamo univocamente)!
Come impostare il passaggio per un punto?
Sostituiamo a $x,y,z$ le coordinate del punto e facciamo in modo (con un $d$ opportuno$ di verificare l'equazione.
Faccio un esempio numerico, magari è tutto più chiaro.
Consideriamo il piano $x+2y-z+2=0$. Vogliamo determinare il piano parallelo che passa per $P(1,2,0)$. Allora consideriamo il fascio di piani paralleli $x+2y-z+k=0$, imponiamo che il punto vi appartenga $1+2*2-0+k$ e determiniamo $k=-5$. Quindi il piano cercato sarà $x+2y-z-5=0$
Grazie adesso è tutto più chiaro! grazie ancora 
Ultimo dubbio e poi ho proprio finito!
Se la consegna mi chiede:
Determinare il piano contenente r (r è data come intersezione di piani), và bene se mi calcolo i parametri direttori di r, li sostituisco nell'equzioni di r e vedo dove è rispettata l'uguaglianza?
Se la consegna mi chiede:
Determinare il piano contenente r (r è data come intersezione di piani), và bene se mi calcolo i parametri direttori di r, li sostituisco nell'equzioni di r e vedo dove è rispettata l'uguaglianza?
Il tuo svolgimento non l'ho capito, ha l'aria di essere sbagliato, ma una consegna del genere non ha senso, poichè i piani che contengono $r$ sono infiniti
Determinare il piano contenente r: $ x+y-3=x-2y+z=0 $ e parallelo alla retta s: $ x-z=y-2z=0 $
Magari se ti posto questo esercizio capisci cosa intendo
Magari se ti posto questo esercizio capisci cosa intendo
questo esercizio ha senso in quanto la retta cercata è unica.
Prendi il fascio di piani asse $r$, ed imponi che un piano generico del fascio sia parallelo ad $s$.
Prendi il fascio di piani asse $r$, ed imponi che un piano generico del fascio sia parallelo ad $s$.
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