Piano passante per l'origine e ortogonale a una retta
Scrivere l'equazione del piano passante per l'origine e ortogonale alla retta di equazione:
r: $\{(2x - y + 3z = 0),(x - 2y + 5z = 0):}$
Mi pare di ricordare di un esercizio visto ad esercitazione in cui si faceva il prodotto vettore tra le normali dei due piani che generano la retta, imponendo d=0 perchè il piano contiene l'origine.
ma non capisco il motivo di questo procedimento.
Non si può porre come normale del piano il vettore direzione della retta (dato che deve essere ortogonale al piano)?
Altro problema: Trovare le coordinate del punto simmetrico di $P (1,0,-3)$ rispetto al piano di equazione $2x - y + z = 1$.
Io so come si fa a trovare il simmetrico di un piano rispetto ad un punto, ma non di un punto rispetto a un piano.
Ho provato a fare distanza d1=P - piano. fare distanza d2=piano - P generico ed eguagliarla a d1 ma in questo modo mi esce il luogo geometrico dei punti distanti d1 dal piano.
Infine:
Proiettare il punto $P=(2,0,1)$ sulla retta di equazioni
$\{(x + y - z - 7 = 0),(x - 3y - 2z = 0 ):}$
-Considero il piano avente come normale il vettore direzione della retta e contenente il punto P.
-faccio intersezione retta - piano e dovrei trovare la proiezione.
E' corretto questo procedimento?
r: $\{(2x - y + 3z = 0),(x - 2y + 5z = 0):}$
Mi pare di ricordare di un esercizio visto ad esercitazione in cui si faceva il prodotto vettore tra le normali dei due piani che generano la retta, imponendo d=0 perchè il piano contiene l'origine.
ma non capisco il motivo di questo procedimento.
Non si può porre come normale del piano il vettore direzione della retta (dato che deve essere ortogonale al piano)?
Altro problema: Trovare le coordinate del punto simmetrico di $P (1,0,-3)$ rispetto al piano di equazione $2x - y + z = 1$.
Io so come si fa a trovare il simmetrico di un piano rispetto ad un punto, ma non di un punto rispetto a un piano.
Ho provato a fare distanza d1=P - piano. fare distanza d2=piano - P generico ed eguagliarla a d1 ma in questo modo mi esce il luogo geometrico dei punti distanti d1 dal piano.
Infine:
Proiettare il punto $P=(2,0,1)$ sulla retta di equazioni
$\{(x + y - z - 7 = 0),(x - 3y - 2z = 0 ):}$
-Considero il piano avente come normale il vettore direzione della retta e contenente il punto P.
-faccio intersezione retta - piano e dovrei trovare la proiezione.
E' corretto questo procedimento?
Risposte
"giovanta":
Scrivere l'equazione del piano passante per l'origine e ortogonale alla retta di equazione:
r: $\{(2x - y + 3z = 0),(x - 2y + 5z = 0):}$
Mi pare di ricordare di un esercizio visto ad esercitazione in cui si faceva il prodotto vettore tra le normali dei due piani che generano la retta, imponendo d=0 perchè il piano contiene l'origine.
ma non capisco il motivo di questo procedimento.
Non si può porre come normale del piano il vettore direzione della retta (dato che deve essere ortogonale al piano)?
Spero di non sbagliare. Ma il prodotto vettore fra le normali dei due piani è semplicemente...il vettore direzione della retta! Quindi nell'esercitazione voi avete imposto che il vettore direzione della retta fosse normale al piano e che il piano passasse per $O$ (cioè $d=0$), cioè esattamente quanto vuoi fare tu!
Dovrebbe essere così.
Veniamo al secondo esercizio. Calcola la proiezione $P_0$ di $P$ sul piano e trova i due punti sulla retta $[P,P_0]$ che distano $d$ da $P_0$, dove $d$ è la distanza da $P$ a $P_0$. Uno dei due punti sarà $P$, l'altro sarà il simmetrico di $P$ rispetto al piano.
Terzo esercizio. Secondo me, il procedimento è giusto.
cirasa:
Veniamo al secondo esercizio. Calcola la proiezione $P_0$ di $P$ sul piano e trova i due punti sulla retta $[P,P_0]$ che distano $d$ da $P_0$, dove $d$ è la distanza da $P$ a $P_0$. Uno dei due punti sarà $P$, l'altro sarà il simmetrico di $P$ rispetto al piano.
OK. Il senso l'ho capito.
Ma non riesco a risolvere dal punto di vista pratico.
Saresti così gentile da mostrarmi il procedimento svolto dell'esercizio?
Mi è venuta in mente un'altra idea. Forse con meno conti. Se $P_0$ è la proiezione di $P$ sul piano, allora il punto simmetrico di $P$ rispetto al piano è quel punto $Q$ tale che $P_0$ è il punto medio fra $P$ e $Q$. Convieni con me?
In entrambi i metodi dobbiamo trovare la proiezione $P_0$ di $P$ sul piano. Se sai farlo, lo fai e poi andiamo avanti insieme. Se non sai farlo dimmelo e ti dò una mano.
In entrambi i metodi dobbiamo trovare la proiezione $P_0$ di $P$ sul piano. Se sai farlo, lo fai e poi andiamo avanti insieme. Se non sai farlo dimmelo e ti dò una mano.
"giovanta":
Proiettare il punto $P=(2,0,1)$ sulla retta di equazioni
$\{(x + y - z - 7 = 0),(x - 3y - 2z = 0 ):}$
-Considero il piano avente come normale il vettore direzione della retta e contenente il punto P.
-faccio intersezione retta - piano e dovrei trovare la proiezione.
Ok, ma ti do altri due metodi.
Primo: puoi trovare la parametrizzazione della retta e poi imporre che il vettore $PQ$ (dove$Q$
è il punto generico della retta) sia ortogonale al vettore direttore della retta.
Trovi così il valore del parametro $t$ e in questo modo determini la proiezione di $P$
sulla retta.
Secondo: parametrizzi la retta come nel primo metodo
e poi calcoli il quadrato della distanza di $P$ da $Q$ (punto generico della retta):
a questo punto avrai un polinomio di secondo grado in $t$, quindi basta trovare il
minimo (è l'ascissa del vertice..)
Trovi lo stesso valore del metodo precedente.
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