Piano passante per due punti e contenente una retta

[Sk_Anonymous]

devo trovare il piano passante per due punti a(0.0.2)e b(2.1.2) e la retta s

x=1-6t
y=-3t
z=0

[mod="Tipper"]Titolo modificato (era "piano").[/mod]

[Alexp1]

Ciao, per risolvere il tuo problema basta impostare la seguente matrice e imporre il determinante $=0$.....

$|(x-0,y-0,z-2),(2,1,2),(1-6t,-3t,0)|=0$

calcolando e semplificando, il determinante ti risulterà:

$-z+(2-12t)y+6tx+2=0$ questa è l'equazione del piano passante per i punti $a$ e $b$ e per la retta $s$.

Ora, se vuoi effettuare una verifica del risultato, puoi sostituire a turno nell'equazione del piano, le coordinate del punto $a$, poi quelle del punto $b$ ed infine quelle della retta $s$ e noterai che ogni volta otterrai sempre un'identità $0=0$....ottenere l'identità ti conferma che sia i punti che la retta sono contenuti nel piano calcolato.

Spero di essere stato chiaro!

[franced]

"CLODIA13":devo trovare il piano passante per due punti a(0.0.2)e b(2.1.2) e la retta s

x=1-6t
y=-3t
z=0

La retta $s$ ha equazioni cartesiane

$x - 2y - 1 = 0$ ;
$z = 0$

possiamo quindi considerare il fascio di piani contenenti la retta $s$:

$lambda_1 (x - 2y - 1) + lambda_2 z = 0$

imponendo il passaggio per $A$ e $B$ troviamo:

$ - lambda_1 + 2 lambda_2 = 0$

$ - lambda_1 + 2 lambda_2 = 0$

la seconda equazione è ridondante per cui
l'equazione cartesiana del piano risulta:

$2 (x - 2 y - 1) + z = 0$

ovvero

$ 2x - 4y + z - 2 = 0$

[franced]

"Alexp":
...

$-z+(2-12t)y+6tx+2=0$ questa è l'equazione del piano passante per i punti $a$ e $b$ e per la retta $s$.

...

Scusa ma l'equazione che hai scritto non è giusta.
Il parametro $t$ non può comparire nell'equazione cartesiana del piano.

[franced]

Vorrei osservare che, data una retta ed un punto che non sta su di essa,
esiste un unico piano che contiene entrambi.

I dati del problema proposto sono, pertanto, "ad hoc";
in pratica, se scegliamo i dati a caso, è molto improbabile
trovare un piano contenente la retta e i due punti.

[Alexp1]

Si hai ragione, mi sono accorto che facendo così stavo considerando il Punto $(2,1,2)$ un vettore e quindi questo mi sballa tutto...

Purtroppo l'ho svolto di fretta e furia mentre ero al lavoro e come è evidente non ero contrentrato! scusate!

[franced]

Ok.