Piano passante per A, parall. a una retta e perp. a un piano
La traccia è la seguente:
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano Oxyz, scrivere l'equazione del piano α per il punto A(1,0,-1), parallelo alla retta r di equazioni (x=t , y=2t , z=-t+1) e perpendicolare al piano π: x-y-z=0
Ho cominciato con l'equazione di un piano generico passante per il punto A:
a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀)=0
Da cui, in questo caso, si ottiene:
a(x-1) + b(y-0) + c(z+1)=0
Risolvendo:
ax-a+by+cz+c=0 => α: ax+by+cz=a-c
Otteniamo così l'equazione del piano α passante per A.
(Ma non sono del tutto sicuro di tale procedimento)
inoltre ho considerato questo teorema: C.N.E.S. affinché i due piani α e π di equazioni rispettive ax+by+cz=a-c e x-y-z=0 siano perpendicolari è che si abbia
aa' + bb' + cc' = 0
Ma a questo punto mi blocco e non riesco a continuare... Non sono sicuro, come già detto, neanche dei primi passaggi!!!
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano Oxyz, scrivere l'equazione del piano α per il punto A(1,0,-1), parallelo alla retta r di equazioni (x=t , y=2t , z=-t+1) e perpendicolare al piano π: x-y-z=0
Ho cominciato con l'equazione di un piano generico passante per il punto A:
a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀)=0
Da cui, in questo caso, si ottiene:
a(x-1) + b(y-0) + c(z+1)=0
Risolvendo:
ax-a+by+cz+c=0 => α: ax+by+cz=a-c
Otteniamo così l'equazione del piano α passante per A.
(Ma non sono del tutto sicuro di tale procedimento)
inoltre ho considerato questo teorema: C.N.E.S. affinché i due piani α e π di equazioni rispettive ax+by+cz=a-c e x-y-z=0 siano perpendicolari è che si abbia
aa' + bb' + cc' = 0
Ma a questo punto mi blocco e non riesco a continuare... Non sono sicuro, come già detto, neanche dei primi passaggi!!!
Risposte
Piano parallelo alla retta $->$ vettore direttore e vettore normale orogonali $->$ prodotto scalare $=0$
Piano perpendicolare ad un altro piano $->$ i loro vettori normali sono ortogonali $->$ prodotto scalare $=0$
Piano perpendicolare ad un altro piano $->$ i loro vettori normali sono ortogonali $->$ prodotto scalare $=0$
ciao.
allora il piano $\alpha$ è il piano che contiene $A$ e ha due vettori direttori che dobbiamo calcolare. quindi $\alpha = (1,0,-1) + $
il piano $\pi = (0,0,0) + <(1,1,0),(1,0,1)>$
quindi ora fai in modo che $v_1$ e $v_2$ siano ortogonali ai vettori di $\pi$ e proporzionali al vettore di $r$.
allora il piano $\alpha$ è il piano che contiene $A$ e ha due vettori direttori che dobbiamo calcolare. quindi $\alpha = (1,0,-1) +
il piano $\pi = (0,0,0) + <(1,1,0),(1,0,1)>$
quindi ora fai in modo che $v_1$ e $v_2$ siano ortogonali ai vettori di $\pi$ e proporzionali al vettore di $r$.
"Mirino06":
Piano parallelo alla retta $->$ vettore direttore e vettore normale orogonali $->$ prodotto scalare $=0$
Piano perpendicolare ad un altro piano $->$ i loro vettori normali sono ortogonali $->$ prodotto scalare $=0$
Il vettore direttore del piano e il vettore normale della retta sono ortogonali?
Se il piano è parallelo alla retta sì.
Ok! Perfetto!
Però c'è un problema: se io non ho l'equazione del piano alfa (è proprio quella che mi chiede il problema) come faccio a calcolarmi il vettore direttore del piano?
Però c'è un problema: se io non ho l'equazione del piano alfa (è proprio quella che mi chiede il problema) come faccio a calcolarmi il vettore direttore del piano?
mettendo $(x,y,x)$, fai il rprodotto scalare per l'altro vettore e poni uguale a 0 e risolvi il sistema di equazioni.
Per "vettore normale" si intende il "versore" giusto?
io l'ho risolto così:
la stella di piani in A(1,0,-1) è la seguente:
$ a(x-1)+b(y)+c(z+1)=0 $
i parametri direttori della retta data sono : (1,2,-1)
i parametri di giacitura del piano dato sono : (1,-1,-1)
li poni a sistema e trovi la matrice che fornisce i parametri di giacitura del piano cercato:
$ ( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , -1 ) ) $ = $ (-3,0,-3) $ proporzionale ad $ (-1,0,-1) $
sostituisci:
$ -(X-1)-(Z+1)=0 $
si ottiene infine
$ x+z=0 $
spero di non aver commesso errori.
ciao.
la stella di piani in A(1,0,-1) è la seguente:
$ a(x-1)+b(y)+c(z+1)=0 $
i parametri direttori della retta data sono : (1,2,-1)
i parametri di giacitura del piano dato sono : (1,-1,-1)
li poni a sistema e trovi la matrice che fornisce i parametri di giacitura del piano cercato:
$ ( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , -1 ) ) $ = $ (-3,0,-3) $ proporzionale ad $ (-1,0,-1) $
sostituisci:
$ -(X-1)-(Z+1)=0 $
si ottiene infine
$ x+z=0 $
spero di non aver commesso errori.
ciao.
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