Piano passante $P$ e parallelo $r$ ed $s$
Vi riporto un esercizio del tipo:
sia $r$ una retta passante per i punti $A(0,1,0)$ e $B(1,0,1)$, e sia $s$ una retta rappresentata dal sistema cartesiano: $ R{ ( x-y=2 ),( y+z=-1 ):} $. Vogliamo stabilire un piano ($pi$) passante per il punto $P(1,1,1)$ e parallelo ad $r$ ed $s$.
Mi è stato suggerito, ma non spiegato, un certo metodo che preveda unicamente l'uso di matrici, ritenendo i miei passaggi troppo "artificiosi".
C'è qualcuno che conosce questo metodo risolutivo più veloce? Perché io avrei svolto nel seguente modo:
Affinché un piano ed una retta siano paralleli, o la retta è contenuta nel piano, o la loro intersezione è nulla, oppure sia dato un $v|\|r$ ed un $w_|_pi$, $v_|_w$.
È possibile dunque agire, prima di tutto, stabilendo i direttori di $r$, che sono: $(1,-1,1)$ e poi quelli di $s$ che risultano $(-1,-1,1)$.
Ora, per la condizione di parallelismo:
$x-y+z+d=0$ passa per $P$ $1-1+1+d=0$ e si ottiene $d=-1$ da cui $x-y+z-1=0$ è un piano parallelo a $r$ e passante per $P$.
Stesso metodo con $s$:$x+y-z-1=0$.
Ora, mi aspetterei di trovare due piani identici, o proporzionali. Quindi qualcosa nel ragionamento non torna... oppure ho utilizzato un metodo inutile e inconsistente.
In effetti, se il ragionamento è esatto, anche i piani dati da $r$ ed $s$ dovrebbero essere paralleli tra di loro, in quanto paralleli allo stesso piano. O forse sono talmente sfatto che dall'inizio del topic ho scritto solo idiozie.
sia $r$ una retta passante per i punti $A(0,1,0)$ e $B(1,0,1)$, e sia $s$ una retta rappresentata dal sistema cartesiano: $ R{ ( x-y=2 ),( y+z=-1 ):} $. Vogliamo stabilire un piano ($pi$) passante per il punto $P(1,1,1)$ e parallelo ad $r$ ed $s$.
Mi è stato suggerito, ma non spiegato, un certo metodo che preveda unicamente l'uso di matrici, ritenendo i miei passaggi troppo "artificiosi".
C'è qualcuno che conosce questo metodo risolutivo più veloce? Perché io avrei svolto nel seguente modo:
Affinché un piano ed una retta siano paralleli, o la retta è contenuta nel piano, o la loro intersezione è nulla, oppure sia dato un $v|\|r$ ed un $w_|_pi$, $v_|_w$.
È possibile dunque agire, prima di tutto, stabilendo i direttori di $r$, che sono: $(1,-1,1)$ e poi quelli di $s$ che risultano $(-1,-1,1)$.
Ora, per la condizione di parallelismo:
$x-y+z+d=0$ passa per $P$ $1-1+1+d=0$ e si ottiene $d=-1$ da cui $x-y+z-1=0$ è un piano parallelo a $r$ e passante per $P$.
Stesso metodo con $s$:$x+y-z-1=0$.
Ora, mi aspetterei di trovare due piani identici, o proporzionali. Quindi qualcosa nel ragionamento non torna... oppure ho utilizzato un metodo inutile e inconsistente.
In effetti, se il ragionamento è esatto, anche i piani dati da $r$ ed $s$ dovrebbero essere paralleli tra di loro, in quanto paralleli allo stesso piano. O forse sono talmente sfatto che dall'inizio del topic ho scritto solo idiozie.
Risposte
Se non ho sbagliato i calcoli le due rette sono incidenti. Pertanto sono in particolare complanari, cioè esiste un piano $alpha$ che le contiene.
Ora i casi sono due. $P in alpha$ allora il piano cercato è proprio $alpha$, oppure $P$ non appartiene ad $alpha$ pertanto prendi un piano $pi$ parallelo ad $alpha$ ed imponendo il passaggio per $P$ hai risolto.
Ora i casi sono due. $P in alpha$ allora il piano cercato è proprio $alpha$, oppure $P$ non appartiene ad $alpha$ pertanto prendi un piano $pi$ parallelo ad $alpha$ ed imponendo il passaggio per $P$ hai risolto.
Quindi, devo trovare un piano $alpha$ che contenga entrambe, poi verifico se passa per $P$ se così non fosse, me ne trovo uno parallelo che passi per $P$. Ho capito bene?
Sì, è l'idea può semplice ed efficace che mi è venuta in mente.
Forse è anche quella esatta, so che odi le risoluzioni di tipo algebrico, ma questa è quella che mi hanno spiegato 
Trovo $alpha$: $ | ( x-1 , y-1 , z-1 ),( 1 , -1 , 1 ),( -1 , -1 , 1 ) | $ [...] $y+z-2=0$
Fare un'eventuale verifica sembra stupido, ma... $1+1-2=0$
Correggimi se ho sbagliato qualche concetto...
Trovo $alpha$: $ | ( x-1 , y-1 , z-1 ),( 1 , -1 , 1 ),( -1 , -1 , 1 ) | $ [...] $y+z-2=0$
Fare un'eventuale verifica sembra stupido, ma... $1+1-2=0$
Correggimi se ho sbagliato qualche concetto...
Eh ma $(0,1,0)$ non vi appartiene! 
Puoi prendere il fascio di piani di asse $s$ ed imporre che un punto tra i due di $r$ vi appartenga.
Comunque io non odio le soluzioni di tipo algebrico, è che quando si può è meglio lavorare con oggetti concreti per i quali non è necessario ricordarsi tutte le formule. Sai non ho una memoria molto ferrea
Puoi prendere il fascio di piani di asse $s$ ed imporre che un punto tra i due di $r$ vi appartenga.
Comunque io non odio le soluzioni di tipo algebrico, è che quando si può è meglio lavorare con oggetti concreti per i quali non è necessario ricordarsi tutte le formule. Sai non ho una memoria molto ferrea
Mi consigli di fare in questo modo perché le due rette sono incidenti?
Mmm credo di aver commesso un errore, nel senso che forse non sono incidenti 
Hai controllato il sistema?
Perchè altrimenti dobbiamo cercare un'altra soluzione.
Hai controllato il sistema? Perchè altrimenti dobbiamo cercare un'altra soluzione.
Si, dopo aver scritto il post ho cercato di verificare, e in effetti, secondo i miei calcoli, le rette non dovrebbero essere incidenti...
Scusami se ti ho fatto perdere tempo, ma i calcoli non sono il mio forte 
Prendi un piano generico $ax+by+cz+d=0$ ed imponi via via le condizioni, ricordando che un piano è parallelo ad una retta se $\al+bm+cn=0$ con $l,m,n$ parametri direttori della retta!
La soluzione che hai trovato $y+z-2=0$ è il piano cercato.In realtà, immaginando la cosa geometricamente, questo piano è il piano su cui le due rette giacerebbero se fossero complanari. Ecco perché il tuo risultato coincide.
Ovviamente il mio consiglio è sempre lo stesso: controlla i miei calcoli!
Prendi un piano generico $ax+by+cz+d=0$ ed imponi via via le condizioni, ricordando che un piano è parallelo ad una retta se $\al+bm+cn=0$ con $l,m,n$ parametri direttori della retta!
La soluzione che hai trovato $y+z-2=0$ è il piano cercato.In realtà, immaginando la cosa geometricamente, questo piano è il piano su cui le due rette giacerebbero se fossero complanari. Ecco perché il tuo risultato coincide.
Ovviamente il mio consiglio è sempre lo stesso: controlla i miei calcoli!
"mistake89":
Scusami se ti ho fatto perdere tempo, ma i calcoli non sono il mio forte
Prendi un piano generico $ax+by+cz+d=0$ ed imponi via via le condizioni, ricordando che un piano è parallelo ad una retta se $\al+bm+cn=0$ con $l,m,n$ parametri direttori della retta!
Mica ho perso tempo, ho analizzato una serie di circostanze che non avevo preventivato, quindi ho imparato cose nuove.
Grazie mille
Ho editato il messaggio aggiungendoti la soluzione e una piccola considerazione!
Si, perché è proprio il piano per cui r ed s sono complanari e nel contempo, passa anche per P.
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