Piano parallelo al vettore
salve sto facendo questo esercizio del sernesi:
determinare un' equazione cartesiana del piano $p$ contenente la retta comune ai due piani di equazione $x+y=3$ , $2y+3z=4$
e parallelo al vettore $(3,-1,2)
non capisco cosa farci del vettore parallelo al piano,inoltre penso di avere qualche dubbio riguardo a cosa sia un vettore direttore del piano.
so che la retta ha vettore direttore ad esempio(l,m,n),il quale corrisponde alla base del sottospazio associato di dimensione 1,tale vettore ho sentito dire che è parallelo alla retta....
Poi ho letto che il piano ha come vettore direttore sempre i coefficienti delle incognite e che questo sia perpendicolare al piano stesso.
ma non capisco perche non siano 2 i vettori direttori per il piano,visto che la base del suo sottospazio associato è di dimensione 2
comunque sia il vettore del testo dell'esercizio non può essere quello del piano da trovare poiche è parallelo e non perpendicolare
sarei grata a chiunque mi togliesse questi dubbi
determinare un' equazione cartesiana del piano $p$ contenente la retta comune ai due piani di equazione $x+y=3$ , $2y+3z=4$
e parallelo al vettore $(3,-1,2)
non capisco cosa farci del vettore parallelo al piano,inoltre penso di avere qualche dubbio riguardo a cosa sia un vettore direttore del piano.
so che la retta ha vettore direttore ad esempio(l,m,n),il quale corrisponde alla base del sottospazio associato di dimensione 1,tale vettore ho sentito dire che è parallelo alla retta....
Poi ho letto che il piano ha come vettore direttore sempre i coefficienti delle incognite e che questo sia perpendicolare al piano stesso.
ma non capisco perche non siano 2 i vettori direttori per il piano,visto che la base del suo sottospazio associato è di dimensione 2
comunque sia il vettore del testo dell'esercizio non può essere quello del piano da trovare poiche è parallelo e non perpendicolare
sarei grata a chiunque mi togliesse questi dubbi
Risposte
Cia0:
I) non ho mia sentito dire che i piani abbiano vettori direttori, al più si può parlare di sistema di generatori del loro spazio direttore;
II) per piano parallelo a tal vettore s'intende che sia parallelo alle rette i cui numeri direttori sono le componenti del dato vettore;
III) forse intendi il vettore direttore delle rette perpendicolari al dato piano?
I) non ho mia sentito dire che i piani abbiano vettori direttori, al più si può parlare di sistema di generatori del loro spazio direttore;
II) per piano parallelo a tal vettore s'intende che sia parallelo alle rette i cui numeri direttori sono le componenti del dato vettore;
III) forse intendi il vettore direttore delle rette perpendicolari al dato piano?
"ballerina85":
salve sto facendo questo esercizio del sernesi:
determinare un' equazione cartesiana del piano $p$ contenente la retta comune ai due piani di equazione $x+y=3$ , $2y+3z=4$
e parallelo al vettore $(3,-1,2)
non capisco cosa farci del vettore parallelo al piano,inoltre penso di avere qualche dubbio riguardo a cosa sia un vettore direttore del piano.
Imponi la condizione per cui il vettore normale al piano sia perpendicolare al "vettore parallelo".
Quello che tu chiami vettore direttore e' il vettore normale (o perpendicolare) al piano.
so che la retta ha vettore direttore ad esempio(l,m,n),il quale corrisponde alla base del sottospazio associato di dimensione 1,tale vettore ho sentito dire che è parallelo alla retta....
In matematica non esiste il "sentito dire". Lo verifichi tu da sola se una formula e' corretta o no.
Scusami per questa nota ironica.
Poi ho letto che il piano ha come vettore direttore sempre i coefficienti delle incognite e che questo sia perpendicolare al piano stesso.
ma non capisco perche non siano 2 i vettori direttori per il piano,visto che la base del suo sottospazio associato è di dimensione 2
Bene. Allora cerca un vettore A che sia perpendicolare sia alla retta B che al vettore parallelo C. Il piano associato ad A conterra' sia B che C.
comunque sia il vettore del testo dell'esercizio non può essere quello del piano da trovare poiche è parallelo e non perpendicolare
Infatti non e' il vettore normale al piano.
sarei grata a chiunque mi togliesse questi dubbi
dunque,ho trovato il risultato dell'esercizio,ma non so se il procedimento è giusto
ho pensato che potendo trovare una retta tramite un vettore(parallelo) che genera il suo sottospazio più un punto ,se ho due vettori paralleli al piano e so che il punto passa per il piano dovrei trovare il piano affine $p$
dal testo il piano contiene la retta $r$ in comune ai due piani $x+y=3$,$2y+3z=4$
quindi $r$ è proprio l'intersezione dei due piani ed è contenuta in $p$,quindi è parallela a $p$ e ciò vuol dire che il vettore direttore della retta è un vettore parallelo al piano
trovo il vettore direttore della retta che è $(3,-3,2)$
cosi ho due vettori paralleli al piano ovvero $<(3,-3,2),(3,-1,2)>$ che generano il suo sottospazio
Poi per trovare il punto $P$ dove passa il piano $p$ prendo un qualsiasi punto di $r$ poichè è contenuta nel piano.Per $x=1->y=2,z=0$
quindi scelgo il punto $P$:$(1,2,0)$ a questo punto dovrei avere tutti i dati e il piano affine sara il determinante della matrice
$ | ( x-1 , x-2 , z ),( 3 , -1 , 2 ),( 3 , -3 , 2 ) |=0 $ ovvero $2x-3z-2=0$
tuttavia non riesco a capire il ruolo delle componenti $ABC$ di un piano affine generico,perche dovrebbero rappresentare un vettore normale al piano pensavo che i sottospazi associati contenessero vettori paralleli ai sottospazi affini,quella del vettore normale al piano è per caso una nozione di geometria euclidea?
ho pensato che potendo trovare una retta tramite un vettore(parallelo) che genera il suo sottospazio più un punto ,se ho due vettori paralleli al piano e so che il punto passa per il piano dovrei trovare il piano affine $p$
dal testo il piano contiene la retta $r$ in comune ai due piani $x+y=3$,$2y+3z=4$
quindi $r$ è proprio l'intersezione dei due piani ed è contenuta in $p$,quindi è parallela a $p$ e ciò vuol dire che il vettore direttore della retta è un vettore parallelo al piano
trovo il vettore direttore della retta che è $(3,-3,2)$
cosi ho due vettori paralleli al piano ovvero $<(3,-3,2),(3,-1,2)>$ che generano il suo sottospazio
Poi per trovare il punto $P$ dove passa il piano $p$ prendo un qualsiasi punto di $r$ poichè è contenuta nel piano.Per $x=1->y=2,z=0$
quindi scelgo il punto $P$:$(1,2,0)$ a questo punto dovrei avere tutti i dati e il piano affine sara il determinante della matrice
$ | ( x-1 , x-2 , z ),( 3 , -1 , 2 ),( 3 , -3 , 2 ) |=0 $ ovvero $2x-3z-2=0$
tuttavia non riesco a capire il ruolo delle componenti $ABC$ di un piano affine generico,perche dovrebbero rappresentare un vettore normale al piano pensavo che i sottospazi associati contenessero vettori paralleli ai sottospazi affini,quella del vettore normale al piano è per caso una nozione di geometria euclidea?
Si, ma c'e' un errore di calcolo/trascrizione... non hai un risultato da confrontare ??
Qui tutto e' geometria euclidea.
Il vettore normale al piano e' l'unico che ha prodotto scalare nullo con tutti i vettori del piano.
E' comodo, utile, funziona.
tuttavia non riesco a capire il ruolo delle componenti ABC di un piano affine generico,perche dovrebbero rappresentare un vettore normale al piano pensavo che i sottospazi associati contenessero vettori paralleli ai sottospazi affini,quella del vettore normale al piano è per caso una nozione di geometria euclidea?
Qui tutto e' geometria euclidea.
Il vettore normale al piano e' l'unico che ha prodotto scalare nullo con tutti i vettori del piano.
E' comodo, utile, funziona.
...quale errore?
comunque per te il procedimento e giusto?
quindi è lecito dire che i vettori della giacitura sono paralleli ai sottospazi affini(tutti)?
e quelli perpendicolari quindi cosa rappresentano?
l'esercizio sarebbe associato al capitolo sugli spazi affini,in quello degli spazi euclidei si dovrebbero aggiungere altre nozioni...perche dici che è tutto geometria euclidea?....forse devo essere capace di svolgere questi esercizi facendo ricorso solo a certe nozioni che non includono ancora quelle di spazi euclidei...
grazie mille per il supporto
comunque per te il procedimento e giusto?
quindi è lecito dire che i vettori della giacitura sono paralleli ai sottospazi affini(tutti)?
e quelli perpendicolari quindi cosa rappresentano?
l'esercizio sarebbe associato al capitolo sugli spazi affini,in quello degli spazi euclidei si dovrebbero aggiungere altre nozioni...perche dici che è tutto geometria euclidea?....forse devo essere capace di svolgere questi esercizi facendo ricorso solo a certe nozioni che non includono ancora quelle di spazi euclidei...
grazie mille per il supporto
"Quinzio":
Il vettore normale al piano e' l'unico che ha prodotto scalare nullo con tutti i vettori del piano.
E' comodo, utile, funziona.
in effetti preso il piano il suo vettore perpendicolare è $(2,0,-3)$
e il prodotto scalare con i vettorei della giacitura $<(3,-1,2),(3,-3,2)>$ è nullo
questa quindi è una condizione necessaria e sufficiente per verificare che quelli sono vettori della giacitura?
ed ogni vettore che avrà prodotto scalare nullo con $(2,0,-3)$ sarà di conseguenza un vettore della giacitura del piano?
mi scuso per le troppe domande...
"Quinzio":
Si, ma c'e' un errore di calcolo/trascrizione... non hai un risultato da confrontare ??
ho ricontrollato,errori di calcolo non ci sono e il risultato è quello...
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