Piano parallelo a un piano

[liam-lover]

"Si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $ ed il piano $ pi =3x-5y-z-3=0 $.
Se possibile, determinare:
(i) un piano $ alpha $ appartenente ad F(r) tale che risulti parallelo a $ pi $;
(ii) la distanza tra i due piani;
(iii) dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti $ alpha nn pi $."



In ordine:

(i) La retta r in forma cartesiana è $ { ( x-y-2=0 ),( 2x+z-5=0 ):} $

Per stabilire la posizione reciproca tra la retta e il piano, guardo la matrice dei coefficienti:

$ A=( ( 1 , -1 , 0 ),( 2 , 0 , 1 ),( 3 , -5 , -1 ) ) $ ha rango 2.

$ (A|b)=( ( 1 , -1 , 0 , 2 ),( 2 , 0 , 1 , 5 ),( 3 , -5 , -1 , 3 ) ) $ ha rango 3.

La retta e il piano sono paralleli.

La mia domanda è: se prendo il vettore direzionale (1, 1, -2) di r, posso calcolare il piano $ alpha $ in questo modo?

$ alpha:3x-5y-z+k=0 $

Sostituisco il vettore (1, 1, -2):

$ 3(1)-5(1)-(-2)+k=0 $

$ k = 0 $

$ alpha:3x-5y-z=0 $

E se volessi verificare l'appartenenza di questo piano al fascio F(r), dovrei risolvere questa equazione?

$ lambda (x-y-2)+mu (2x+z-5)=(3x-5y-z) $

$ { ( lambda+2mu=3 ),( -lambda=-5 ),( mu =-1 ):} $

$ { ( 5+2(-1)=3 rArr 3=3 ),( lambda=5 ),( mu =-1 ):} $

(ii) Faccio bene a dire che la distanza tra i due piani è semplicemente 3?

(iii) Il luogo descritto dai punti $ alpha nn pi $ rappresenta lo spazio direttore dei due piani.

[Bokonon]

"maxira":"Si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $ ed il piano $ pi =3x-5y-z-3=0 $.
Se possibile, determinare:
(i) un piano $ alpha $ appartenente ad F(r) tale che risulti parallelo a $ pi $;
(ii) la distanza tra i due piani;
(iii) dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti $ alpha nn pi $."

Faccio prima a mostrarti come lo risolverei io.
Il fascio è una retta $ F(r): {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 1 ),( 1 ),( -2 ) ) +( ( 1 ),( -1 ),( 3 ) ) $
Così si vede bene, ovvero una retta di direzione (1,1,-2) che passa per il punto (1,-1,3).
Ora il piano $ alpha $ deve contenere la retta ed essere pure parallelo al piano $ pi$, quindi esisterà solo e solo se la direzione della retta è perpendicolare a (3,-5,-1). $<3,-5,-1> * <1,1,-2> =0$ ed è così.
Quindi il piano $ alpha $ sarà del tipo $3x-5y-z=d $ e dovrà passare per (1,-1,3), ovvero $ alpha: 3x-5y-z-5=0$
La distanza fra i due piani è 2 e la loro intersezione è nulla visto che sono paralleli.

[liam-lover]

"Bokonon":
Faccio prima a mostrarti come lo risolverei io.

Molto più veloce del libro. Grazie!