Piano parallelo a 2 rette
Ciao a tutti, vi propongo un paio di dubbi circa questo esercizio:
determinare il piano $\pi$ parallelo ad $r:\{(x + y + 5 = 0),(x - y +2z = 0):}$ e ad $s:\{(2x + 2y + 1 = 0),(x - y +2z -1 = 0):}$ e passante per $Q(0,1,3)$
allora io ho determinato i parametri di direzione (prendendo due punti arbitrari per semplicità di calcolo) e risultano essere uguali ovvero $s=r|((1),(-1),(-1))$ vuol dire che le mie rette sono parallele tra loro.
Ora quindi impongo che una di esse sia parallela al piano di generica equazione $\pi:ax+by+cz+d=0$ con la condizione $a-b-c=0$ a questo punto ricavo $a=b+c$
ora come devo procedere? Assegno dei valori arbitrari a $b$ e $c$? ad esempio $1$ e quindi l'equazione del piano è $\pi:2x-y+z-4=0$ dove $-4$ è stato ottenuto imponendo che il piano passi per $Q$
Confrontandolo però con l'equazione del libro essa è $\pi:x-y+2z-5=0$
ora: anche in questa è rispettata la mia relazione $a=b+c$ ed ovviamente anche qui $Qin\pi$ ma io mi chiedo, l'equazione da me trovata e quella del libro descrivono lo stesso piano? O io ho sbagliato?
grazie mille
determinare il piano $\pi$ parallelo ad $r:\{(x + y + 5 = 0),(x - y +2z = 0):}$ e ad $s:\{(2x + 2y + 1 = 0),(x - y +2z -1 = 0):}$ e passante per $Q(0,1,3)$
allora io ho determinato i parametri di direzione (prendendo due punti arbitrari per semplicità di calcolo) e risultano essere uguali ovvero $s=r|((1),(-1),(-1))$ vuol dire che le mie rette sono parallele tra loro.
Ora quindi impongo che una di esse sia parallela al piano di generica equazione $\pi:ax+by+cz+d=0$ con la condizione $a-b-c=0$ a questo punto ricavo $a=b+c$
ora come devo procedere? Assegno dei valori arbitrari a $b$ e $c$? ad esempio $1$ e quindi l'equazione del piano è $\pi:2x-y+z-4=0$ dove $-4$ è stato ottenuto imponendo che il piano passi per $Q$
Confrontandolo però con l'equazione del libro essa è $\pi:x-y+2z-5=0$
ora: anche in questa è rispettata la mia relazione $a=b+c$ ed ovviamente anche qui $Qin\pi$ ma io mi chiedo, l'equazione da me trovata e quella del libro descrivono lo stesso piano? O io ho sbagliato?
grazie mille
Risposte
Non è $ 2x-y+z-4=0 $ ma $ 2x+y+z-4=0 $ :
I due piani ( il "tuo corretto " ) e quello dato dal testo non sono lo stesso piano, ma sono entrambi soluzione del problema.
La soluzione non è univoca infatti.
Lascia libero il parametro $ c $ , fissa $b=1 $, quindi $a=1+c$, imponi il passaggio del piano per $Q$ e otterrai
$(1+c)x+y+cz-1-3c=0 $ come equazione generale del piano cercato : tutti questi piani
* passano per $Q$
* hanno direzione $(1,-1,-1)$ .
I due piani ( il "tuo corretto " ) e quello dato dal testo non sono lo stesso piano, ma sono entrambi soluzione del problema.
La soluzione non è univoca infatti.
Lascia libero il parametro $ c $ , fissa $b=1 $, quindi $a=1+c$, imponi il passaggio del piano per $Q$ e otterrai
$(1+c)x+y+cz-1-3c=0 $ come equazione generale del piano cercato : tutti questi piani
* passano per $Q$
* hanno direzione $(1,-1,-1)$ .
Ti ringrazio ho capito!
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