Piano ortogonale ad una retta

[floyd1231]

Salve, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Nel fascio di piani avente per asse la retta $ r:{ ( 3x-4y-z+2=0 ),( -x+y=0 ):} $ determinare, se possibile il piano $ pi $ ortogonale alla retta $ s:{ ( x=-2+3t ),( y=-t ),( z=-2+2t ):} $

[sandroroma]

Si scrive dapprima l'equazione del fascio di piani aventi per asse la retta r:
$a(3x-4y-z+2)+b(-x+y)=0$
Ovvero :
(1) $(3a-b)x+(-4a+b)y-az+2a=0$
Adesso s'impone il parallelismo tra la normale del piano generico del fascio e la retta s:
$\frac{3a-b}{3}=\frac{-4a+b}{-1}=\frac{-a}{2}$
Da qui si ha l'unica relazione : $9a-2b=0$
da cui si può porre $a=2k,b=9k$ con $k$ generico ma non nullo.
Sostituendo tali valori nell'equazione del fascio (1) :
$-3kx+ky-2kz+4k=0$
Dividendo per $k$ ( che non è nullo) risulta:
$3x-y+2z-4=0$
che rappresenta l'equazione del piano richiesto.

[floyd1231]

Grazie infinite!