Piano e spazio affini, primi esercizi.
Esercizio 1:
sono sul piano e ho le coordinate di 4 punti (A,B,C,D). Devo trovare le rette passanti per AB, BC, CD e DA: rispettivamente r1, r2, r3, r4.. e l'ho fatto con la formula della retta passante per due punti $x_0 e x_1$ --> $ (x - x_0) / (x_1 - x_0) = (y - y_0) / (y_1 - y_0) $ .. fin qui tutto ok. Poi l'esercizio mi chiede di determinare i punti E ed F tali che E sia l'intersezione di r1 ed r3, ed F sia l'intersezione di r2 ed r4. L'ho risolto mettendo a sistema le equazioni delle prime due rette (r1 ed r3, ed ho trovato E) e delle seconde due (r2 ed r4, ed ho trovato F).
Poi l'esercizio mi chiedeva di verificare che i punti medi nei segmenti EF, BD, e AC fossero allineati.. qui sono meno sicuro.. che ho fatto? Per calcolare le coordinate dei punti medi (detti M,N,L) ho utilizzato la formula $ x_m = (x_1 + x_2)/2 ; y_m = (y_1 + y_2)/2 $ ..ok così trovo i punti medi dei tre segmenti.
Per verificare che fossero allineati io ho trovato l'equazione della retta passante per M e N ho in essa ho sostituito le coordinate di L, osservando che dava luogo ad un'identità. Oppure avrei potuto ricavarmi anche l'equazione della retta passante per M e L e osservare che identificassero la medesima retta..
C'era un modo più veloce?
Grazie mille.
sono sul piano e ho le coordinate di 4 punti (A,B,C,D). Devo trovare le rette passanti per AB, BC, CD e DA: rispettivamente r1, r2, r3, r4.. e l'ho fatto con la formula della retta passante per due punti $x_0 e x_1$ --> $ (x - x_0) / (x_1 - x_0) = (y - y_0) / (y_1 - y_0) $ .. fin qui tutto ok. Poi l'esercizio mi chiede di determinare i punti E ed F tali che E sia l'intersezione di r1 ed r3, ed F sia l'intersezione di r2 ed r4. L'ho risolto mettendo a sistema le equazioni delle prime due rette (r1 ed r3, ed ho trovato E) e delle seconde due (r2 ed r4, ed ho trovato F).
Poi l'esercizio mi chiedeva di verificare che i punti medi nei segmenti EF, BD, e AC fossero allineati.. qui sono meno sicuro.. che ho fatto? Per calcolare le coordinate dei punti medi (detti M,N,L) ho utilizzato la formula $ x_m = (x_1 + x_2)/2 ; y_m = (y_1 + y_2)/2 $ ..ok così trovo i punti medi dei tre segmenti.
Per verificare che fossero allineati io ho trovato l'equazione della retta passante per M e N ho in essa ho sostituito le coordinate di L, osservando che dava luogo ad un'identità. Oppure avrei potuto ricavarmi anche l'equazione della retta passante per M e L e osservare che identificassero la medesima retta..
C'era un modo più veloce?
Grazie mille.
Risposte
Esercizio 2:
sono in $RA(O; i, j, k)$ e ho due rette (r ed r1) di equazioni assegnate (ovviamente ogni retta è identificata da un sistema di due equazioni).
punto 1) Verificare che le rette siano sghembe. Ho semplicemente messo a sistema tutte e 4 le equazioni cartesiane e ho calcolato il determinante della matrice associata: siccome il valore del determinante mi viene diverso da 0, concludo che esse sono sghembe.
punto 2) Determinare la retta s, parallela alla retta s1 (di equazioni assegnate) e incidente sia r che r1. Ho pensato: metto a sistema il fascio di rette parallele a s1 sia con r che con r1.. ma non so se la cosa si può fare.. aiutino? [qui mi servirebbe sapere anche qual è l'equazione generica del fascio di rette parallele ad una retta data nello spazio.. il nostro professore ci ha dato solo l'equazione del fascio nel piano.. ma non nello spazio).
sono in $RA(O; i, j, k)$ e ho due rette (r ed r1) di equazioni assegnate (ovviamente ogni retta è identificata da un sistema di due equazioni).
punto 1) Verificare che le rette siano sghembe. Ho semplicemente messo a sistema tutte e 4 le equazioni cartesiane e ho calcolato il determinante della matrice associata: siccome il valore del determinante mi viene diverso da 0, concludo che esse sono sghembe.
punto 2) Determinare la retta s, parallela alla retta s1 (di equazioni assegnate) e incidente sia r che r1. Ho pensato: metto a sistema il fascio di rette parallele a s1 sia con r che con r1.. ma non so se la cosa si può fare.. aiutino? [qui mi servirebbe sapere anche qual è l'equazione generica del fascio di rette parallele ad una retta data nello spazio.. il nostro professore ci ha dato solo l'equazione del fascio nel piano.. ma non nello spazio).
Esercizio 1: Tuttto ok
Esercizio 2:
- punto 1) ok.
- punto 2) direi che il modo migliore per determinare la retta $s$ è scriverla come intersezione di due piani.
Riflettiamo un po': se $s$ incide $r$ allora $r$ ed $s$ sono complanari. Non solo ma questo piano $alpha$ che contiene $r$ ed $s$ è parallelo ad $s_1$.
Pertanto il primo piano $alpha$ è l'unico nel fascio di piani per $r$ parallelo ad $s_1$.
Analogamente il secondo piano $beta$ è l'unico nel fascio di piani per $r_1$ parallelo ad $s_1$.
La retta cercata è $s=alpha cup beta$.
"Vegetabbo":No
C'era un modo più veloce?
Esercizio 2:
- punto 1) ok.
- punto 2) direi che il modo migliore per determinare la retta $s$ è scriverla come intersezione di due piani.
Riflettiamo un po': se $s$ incide $r$ allora $r$ ed $s$ sono complanari. Non solo ma questo piano $alpha$ che contiene $r$ ed $s$ è parallelo ad $s_1$.
Pertanto il primo piano $alpha$ è l'unico nel fascio di piani per $r$ parallelo ad $s_1$.
Analogamente il secondo piano $beta$ è l'unico nel fascio di piani per $r_1$ parallelo ad $s_1$.
La retta cercata è $s=alpha cup beta$.
Boh.. non capisco perché tu dal fatto che alfa contiene r e s deduci che alfa è parallelo a s1..
Inoltre fra le millemila formula che ho sottocchio non riesco a distillare quella che identifica un fascio di piani in dimensione 3..
ps: la retta cercata è "alfa intersecato beta" (e non "unito").. dico bene?
Inoltre fra le millemila formula che ho sottocchio non riesco a distillare quella che identifica un fascio di piani in dimensione 3..
ps: la retta cercata è "alfa intersecato beta" (e non "unito").. dico bene?
Sì, naturalmente è "intersecato" e non "unito", una svista...
Se $s\subset alpha$ e $s|| s_1$, allora $s_1$ è parallela ad $alpha$, non è difficile da dimostrare.
Anche intuitivamente non dovrebbe essere complicato. Pensa a due rette parallele nello spazio ($s$ ed $s_1$) e pensa ad un piano $alpha$ che contiene $s$. Allora dovresti visualizzare che $s_1$ è parallela ad $alpha$.
Per quanto riguarda la formula del fascio di piani passanti per una retta $r:{(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$, devi solo ricordare che l'insieme di tutti i piani del fascio è rappresentato dall'equazione
$lambda(ax+by+cz+d)+mu(a'x+b'y+c'z+d')=0$.
Se $s\subset alpha$ e $s|| s_1$, allora $s_1$ è parallela ad $alpha$, non è difficile da dimostrare.
Anche intuitivamente non dovrebbe essere complicato. Pensa a due rette parallele nello spazio ($s$ ed $s_1$) e pensa ad un piano $alpha$ che contiene $s$. Allora dovresti visualizzare che $s_1$ è parallela ad $alpha$.
Per quanto riguarda la formula del fascio di piani passanti per una retta $r:{(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$, devi solo ricordare che l'insieme di tutti i piani del fascio è rappresentato dall'equazione
$lambda(ax+by+cz+d)+mu(a'x+b'y+c'z+d')=0$.
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