Piano: Da cartesiana a parametrica
Salve a tutti! 
Sono uno studente di Informatica di Cagliari, e sto preparando l'esame di Geometria, nel quale è presente un esercizio del tipo:
" Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: ax+by+cz+d=0$ ". In generale non ho problemi se nell'equazione cartesiana compaiono tutte le variabili $x, y, z$, mentre ho un dubbio nel caso in cui una di queste manchi. Mi spiego meglio:
Se ho un esercizio del tipo " Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: x-y+z-2=0$ "
In questo caso, l'equazione parametrica sarebbe la seguente:
${(x=2+lambda-mu), (y=lambda), (z=mu):}$ ossia ${(x=2+1*lambda-1*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+1*mu):}$
Con $P(2,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(1,1,0)$ e $v(-1,0,1)$
Invece prendiamo un esercizio dove una delle variabili (la $z$) è assente:
" Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: x+y-1=0$ "
In questo caso, l'equazione parametrica sarebbe questa:
${(x=1-lambda), (y=lambda), (z=mu):}$ ossia ${(x=1-1*lambda+0*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+1*mu):}$
Con $P(1,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(-1,1,0)$ e $v(0,0,1)$
o questa?
${(x=1-lambda), (y=lambda), (z=0):}$ ossia ${(x=1-1*lambda+0*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+0*mu):}$
Con $P(1,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(-1,1,0)$ e $v(0,0,0)$ ->!!
Il mio dubbio è se devo imporre $z=mu$ o $z=0$
Grazie mille!
Sono uno studente di Informatica di Cagliari, e sto preparando l'esame di Geometria, nel quale è presente un esercizio del tipo:
" Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: ax+by+cz+d=0$ ". In generale non ho problemi se nell'equazione cartesiana compaiono tutte le variabili $x, y, z$, mentre ho un dubbio nel caso in cui una di queste manchi. Mi spiego meglio:
Se ho un esercizio del tipo " Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: x-y+z-2=0$ "
In questo caso, l'equazione parametrica sarebbe la seguente:
${(x=2+lambda-mu), (y=lambda), (z=mu):}$ ossia ${(x=2+1*lambda-1*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+1*mu):}$
Con $P(2,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(1,1,0)$ e $v(-1,0,1)$
Invece prendiamo un esercizio dove una delle variabili (la $z$) è assente:
" Determinare le equazioni parametriche del piano $pi: x+y-1=0$ "
In questo caso, l'equazione parametrica sarebbe questa:
${(x=1-lambda), (y=lambda), (z=mu):}$ ossia ${(x=1-1*lambda+0*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+1*mu):}$
Con $P(1,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(-1,1,0)$ e $v(0,0,1)$
o questa?
${(x=1-lambda), (y=lambda), (z=0):}$ ossia ${(x=1-1*lambda+0*mu), (y=0+1*lambda+0*mu), (z=0+0*lambda+0*mu):}$
Con $P(1,0,0)$ punto appartenente al piano e vettori $u(-1,1,0)$ e $v(0,0,0)$ ->!!
Il mio dubbio è se devo imporre $z=mu$ o $z=0$
Grazie mille!
Risposte
$z=0$.
Se fosse $z=0$, tutti i punti avrebbero coordinate $(1-y,y,0)$ e questa è una retta, parametricamente! E' giusto porre $z=\mu$.
Si vero hai perfettamente ragione ho sparato una cavolata.
"ciampax":
Se fosse $z=0$, tutti i punti avrebbero coordinate $(1-y,y,0)$ e questa è una retta, parametricamente! E' giusto porre $z=\mu$.
Penso di aver capito...Ad esempio, se nella parametrica imponessi che $z=0$, non potrei mai rappresentare il punto $A(-1,2,1)$ che effettivamente appartiene al piano di equazione $x+y-1=0$. Giusto?
Comunque, grazie mille per le risposte!
Bé sì. E poi c'è un altro fatto: un piano è una superficie, cioè uno spazio di dimensione 2. Ergo, hai bisogno necessariamente di 2 parametri.
"ciampax":
Bé sì. E poi c'è un altro fatto: un piano è una superficie, cioè uno spazio di dimensione 2. Ergo, hai bisogno necessariamente di 2 parametri.
Perfetto. Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo