Piano contenente una retta e ortogonale a un piano
Devo determinare il piano contenente la retta $ { 3x-5y+z=0, x-3y+11=0 $
e ortogonale al piano di equazione x-2y+z-6=0.
Pensavo di determinare il fascio di piani che contengono la retta cosi':
$ k(3x-5y+z) + u (x-3y+11) = 0 $
con k e u parametri.
In genere poi io ponevo k=1 e, sostituendo a x,y,z le coordinate di un punto appartenente al piano che sto cercando, ricavavo u.
Riscrivevo il fascio lasciando indicati x,y,z con k=1 e u=valore ricavato.
Ora pero' in questo caso non ho un punto del piano cercato, ma un piano che a esso e' ortogonale.
Come faccio?
E se anziche' essere ortogonale mi avesse chiesto di essere parallelo al piano?
Grazie.
Ciao Kitty
e ortogonale al piano di equazione x-2y+z-6=0.
Pensavo di determinare il fascio di piani che contengono la retta cosi':
$ k(3x-5y+z) + u (x-3y+11) = 0 $
con k e u parametri.
In genere poi io ponevo k=1 e, sostituendo a x,y,z le coordinate di un punto appartenente al piano che sto cercando, ricavavo u.
Riscrivevo il fascio lasciando indicati x,y,z con k=1 e u=valore ricavato.
Ora pero' in questo caso non ho un punto del piano cercato, ma un piano che a esso e' ortogonale.
Come faccio?
E se anziche' essere ortogonale mi avesse chiesto di essere parallelo al piano?
Grazie.
Ciao Kitty
Risposte
Prendi il fascio di piani di asse la tua retta ed imponi la perpendicolarità di piani, cioè $aa'$$+ "bb"'$$+\"cc"'=0$
Scusa ma non ho capito.. ok che se sono perpendicolari allora il prodotto scalare e' nullo..
Ma non ho capito cosa devo considerare..
il fascio che ho scritto va bene?
Dovrei quindi fare:
$ 3x-5y+z+hx-3hy+11h=0 $
che ha come vettore direzionale:
$ 3+h, (-5-3h), 1 $
e faccio il prodotto scalare col vettore direzionale del piano dato e lo impongo nullo?
$ (3+h)*1 + (-5-3h)*(-2) + 1*1=0
3+h+10+6h+1=0
7h=-14
h=-2 $
E quindi l'equazione del piano che cerco sarebbe:
$ 3x-5y+z -2*(x-3y+11)=0
3x-5y+z-2x+6y-22=0
x+y+z-22=0 $
E' giusto?
Scusa ma non l'ho mai fatto cosi' e vorrei essere sicura. Grazie.
Kitty
Ma non ho capito cosa devo considerare..
il fascio che ho scritto va bene?
Dovrei quindi fare:
$ 3x-5y+z+hx-3hy+11h=0 $
che ha come vettore direzionale:
$ 3+h, (-5-3h), 1 $
e faccio il prodotto scalare col vettore direzionale del piano dato e lo impongo nullo?
$ (3+h)*1 + (-5-3h)*(-2) + 1*1=0
3+h+10+6h+1=0
7h=-14
h=-2 $
E quindi l'equazione del piano che cerco sarebbe:
$ 3x-5y+z -2*(x-3y+11)=0
3x-5y+z-2x+6y-22=0
x+y+z-22=0 $
E' giusto?
Scusa ma non l'ho mai fatto cosi' e vorrei essere sicura. Grazie.
Kitty
A parte i conti che non ho controllato, sì è corretto!
OK!
Quindi se in un esercizio mi chiede di essere parallelo a un piano, faccio lo stesso procedimento, solo che impongo che il prodotto vettoriale deve essere nullo?
Quindi se in un esercizio mi chiede di essere parallelo a un piano, faccio lo stesso procedimento, solo che impongo che il prodotto vettoriale deve essere nullo?
Guarda secondo me l'ideale in questi esercizi è immaginare la situazione a livello geometrico. Un piano parallelo al tuo che continue una retta, è della forma $ax+by+cz+k=0$ dove l'unica incognita è $k$, pertanto basterà che un punto della retta vi appartenga per determinare il piano. Attenzione però, questo piano non esiste sempre, se infatti retta e piano non sono paralleli non esiste.
Secondo me il trucco, almeno all'inizio è disegnare tutto.
A parte che vengono anche dei disegni niente male
Secondo me il trucco, almeno all'inizio è disegnare tutto.
A parte che vengono anche dei disegni niente male
Ma quindi, data una retta, per trovare un punto che le appartenga è sufficiente che che soddisfi la sua equazione?
Se e' scritta in forma cartesiana deve soddisfare entrambe le equazioni del piano?
Se e' scritta in forma parametrica un punto che le appartiene lo posso leggere direttamente dal sistema, giusto?
Infine: 2 rette nello spazio, se non si intersecano sono parallele? come lo erano nel piano?
Peccato che questi disegni non siano il mio forte.. infatti spesso sbaglio perche' non ho chiaro geometricamente la soluzione..
Comunque grazie, mi ha chiarito un bel po' di dubbi.
Ciao Kitty
Se e' scritta in forma cartesiana deve soddisfare entrambe le equazioni del piano?
Se e' scritta in forma parametrica un punto che le appartiene lo posso leggere direttamente dal sistema, giusto?
Infine: 2 rette nello spazio, se non si intersecano sono parallele? come lo erano nel piano?
Peccato che questi disegni non siano il mio forte.. infatti spesso sbaglio perche' non ho chiaro geometricamente la soluzione..
Comunque grazie, mi ha chiarito un bel po' di dubbi.
Ciao Kitty
"HelloKitty87":
Ma quindi, data una retta, per trovare un punto che le appartenga è sufficiente che che soddisfi la sua equazione?
Ovviamente sì, e di solito vale in generale. Un punto appartiene ad una conica se soddisfa la sua equazione, o ad una curva algebrica se soddisfa la sua equazione (addirittura questa è definita come luogo di zeri, cioè il luogo dei punti che soddisfano la sua equazione), ma sto divagando
In generale se un punto soddisfa l'equazione di una retta o di un piano vi appartiene. Quindi per imporre che vi appartiene basta imporre che le coordinate siano soluzione di quell'equazione.
Se e' scritta in forma cartesiana deve soddisfare entrambe le equazioni del piano?
Se e' scritta in forma parametrica un punto che le appartiene lo posso leggere direttamente dal sistema, giusto?
Non ho capito per bene il dubbio. Nel primo caso è sì, se soddisfa entrambe le equazioni allora apparterrà alla loro intersezione, cioè la retta da loro individuata.
Nella forma parametrica basta sostituire al parametro un valore per determinare i punti che vi appartengono. Quindi se il sistema ammette soluzione per qualche valore allora quel punto appartiene alla retta.
In fondo sono solo punti di vista diversi per definire la stessa cosa.
Infine: 2 rette nello spazio, se non si intersecano sono parallele? come lo erano nel piano?
No possono essere sghembe.
Peccato che questi disegni non siano il mio forte.. infatti spesso sbaglio perche' non ho chiaro geometricamente la soluzione..
Comunque grazie, mi ha chiarito un bel po' di dubbi.
Ciao Kitty
Si impara. Se ti dicessi quante difficoltà incontravo io!
Come le incontro ora su cose per me nuove. Nessuno nasce "imparato", ma tutti possiamo imparare, almeno io la penso così. Anche la genialità ha bisogno di applicazione (quindi immagina chi come me è ben lontano dall'esserlo!); quindi non demordere! 
Sono d'accordo con te! Si puo' sempre imparare e migliorare! Grazie mille!
Ecco l'altro es. simile ma non uguale, è giusto il mio ragionamento?
Determinare il piano contenente una retta r e parallelo alla retta s.
Quindi qui ho 2 rette!
Il piano cercato per essere parallelo alla retta s, comporta che il vettore direzionale del piano e quello della retta siano ortogonali. E' corretto?
Quindi scrivo la combinaz lineare di r (data in forma cartesiana) e ottengo un fascio di piani che la contengono;
Impongo l'ortogonalita' tra il direttore del piano e quello della retta (prodotto scalre nullo)
Ricavo il coefficiente h e lo sostituisco nell'equazione del fascio ottenendo il piano cercato.
Se invece fosse:
Determinare il piano contenente una retta r e parallelo al piano pigreco.
Il piano cercato per essere parallelo al piano pigreco, comporta che il vettore direzionale del piano cercato e quello di pigreco siano paralleli (prodotto vettoriale nullo). E' corretto?
Ok grazie mille per tutti i chiarimenti!
Determinare il piano contenente una retta r e parallelo alla retta s.
Quindi qui ho 2 rette!
Il piano cercato per essere parallelo alla retta s, comporta che il vettore direzionale del piano e quello della retta siano ortogonali. E' corretto?
Quindi scrivo la combinaz lineare di r (data in forma cartesiana) e ottengo un fascio di piani che la contengono;
Impongo l'ortogonalita' tra il direttore del piano e quello della retta (prodotto scalre nullo)
Ricavo il coefficiente h e lo sostituisco nell'equazione del fascio ottenendo il piano cercato.
Se invece fosse:
Determinare il piano contenente una retta r e parallelo al piano pigreco.
Il piano cercato per essere parallelo al piano pigreco, comporta che il vettore direzionale del piano cercato e quello di pigreco siano paralleli (prodotto vettoriale nullo). E' corretto?
Ok grazie mille per tutti i chiarimenti!
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