Piano contenente r e parallelo a s... problema???

[hidannone]

Salve, allora metto l'esercizio ed i passaggi voglio capire se ho sbagliato qualcosa o cos'altro...
Considerare le rette r ed s date da
$r: {(x=1+t),(y=3-t),(z=-3t):}$ $s: {(3x-y-4=0),(z-1=0):}$
Trovare il piano $π$ contenente $r$ e parallelo a $s$.


Cerco l'equazioni cartesiane di $r: {(x+y-4=0),(3x+z-3=0):}$.

E cerco le equazioni parametriche di $s: {(x=t),(y=-4+3t),(z=1):}$

e poi inizio a cercare l'equazione del piano $pi$...

$pi: a(x+y-4)+b(3x+z-3)=0$
$pi: x(a+3b) +ay-4a+3bz-3b=0$

Ora metto i parametri direttori di s al posto di x,y,z e mi esce fuori $0=0$ ... cosa significa??... che non esiste un piano passante per r e parallelo a s oppure ho sbagliato qualcosa???

[Sk_Anonymous]

Hai sbagliato due passaggi. Il primo è che l'equazione del fascio di piani di asse r è :
\((a+3b)x+ay+bz-(4a+3b)=0\)
Il secondo è che non devi sostituire il vettore direzionale di s nel fascio ma imporre l'ortogonalità tra s e la normale al generico piano del fascio. Poiché il vettore direzionale di s è \((1,3,0)\) e quello della normale in questione è \((a+3b,a,b)\), hai la condizione :
\(a+3b+3a=0\)
da cui : \(\frac{a}{b}=-\frac{3}{4}\)
Possiamo scegliere ad esempio \(a=-3,b=4\) e sostituendo tali valori nell'equazione del fascio ne risulta l'equazione del piano richiesto : 9x-3y+4z=0

[matteotass]

Io farei così:
la retta r è lo spazio affine $(1,3,0)+<(1,-1,-3)>$ e la retta s è $(0,-4,1)+<(1,3,0)>$.
Poichè il piano contiene r ed è parallelo a s lo puoi scrivere come $(1,3,0)+<(1,-1,-3),(1,3,0)>$ e quindi
$$\pi :
\Biggl \{
\begin{array}{rl}
x=&1+1\lambda +1\mu \\
y=&3-1\lambda +3\mu \\
z=&0-3\lambda +0\mu \\
\end{array}
$$
e da qui ricavi l' equazione cartesiana

[hidannone]

"ciromario":Hai sbagliato due passaggi. Il primo è che l'equazione del fascio di piani di asse r è :
\((a+3b)x+ay+bz-(4a+3b)=0\)
Il secondo è che non devi sostituire il vettore direzionale di s nel fascio ma imporre l'ortogonalità tra s e la normale al generico piano del fascio. Poiché il vettore direzionale di s è \((1,3,0)\) e quello della normale in questione è \((a+3b,a,b)\) hai la condizione :
\(a+3b+3a=0\)
da cui : \(\frac{a}{b}=-\frac{3}{4}\)
Possiamo scegliere ad esempio \(a=-3,b=4\) e sostituendo tali valori nell'equazione del fascio ne risulta l'equazione del piano richiesto : 9x-3y+4z=0

ok perfetto infatti mi sembrava strano quello 0=0... ma posso prendere anche a=3 e b=-4??... comunque il tuo metodo è il piu semplice grazie 1000

"matteotass":Io farei così:
la retta r è lo spazio affine $(1,3,0)+<(1,-1,-3)>$ e la retta s è $(0,-4,1)+<(1,3,0)>$.
Poichè il piano contiene r ed è parallelo a s lo puoi scrivere come $(1,3,0)+<(1,-1,-3),(1,3,0)>$ e quindi
$$\pi :
\Biggl \{
\begin{array}{rl}
x=&1+1\lambda +1\mu \\
y=&3-1\lambda +3\mu \\
z=&0-3\lambda +0\mu \\
\end{array}
$$
e da qui ricavi l' equazione cartesiana

capito... però è piu semplice l'altro modo!! comunque grazie lo stesso

[Sk_Anonymous]

Puoi scegliere anche a=3, b=-4. L'effetto finale sarà solo un ininfluente cambio di segno nell'equazione del piano.
L'importante è che tu scelga a e b in modo che il rapporto sia -3/4...