Piano con equazione parametrica, parallelo ad una retta
Mi sono imbattuta in un problema risolvendo degli esercizi.
Ho una retta r
{2y-z+4=0
{2x+5y+10=0
e un piano
πλ: (2+λ)x-4y+(3+2λ)z+7=0
mi viene chiesto:
a) esiste λ tale che il piano sia ortogonale a r?
b) per quali λ la retta r incide il piano
c) sia πλ0 parallelo a r: determinare la distanza di r da πλ0, ed un equazione del piano σ contenente r e ortogonale a πλ0.
il mio problema è nel punto c..
però vi chiedo prima se i punti a e b li ho svolti correttamente che non si sa mai
a)scrivo r in forma parametrica per ricavarmi il vettore, che mi viene vr=(-5/4, 1/2, 1)
poi per l'ortogonalità devo fare il prodotto vettoriale tra vr e il vettore giacitura del piano cioè nπλ e porlo uguale a zero.
ottengo λ=0
b) retta e piano sono incidenti se ho il prodotto scalare tra i vettori di ciascuno diverso da zero.
in questo caso ottengo λ=2
c) qui mi complico tutto.. e non capisco come dare un valore a λ per ottenere un piano parallelo a r.
l'essere paralleli vorrebbe dire avere il prodotto scalare uguale a zero.. Ma prima ho verificato che non lo è..
e quindi come faccio???
senza questo pezzo non posso andare avanti
Aiutatemi per favore
Ho una retta r
{2y-z+4=0
{2x+5y+10=0
e un piano
πλ: (2+λ)x-4y+(3+2λ)z+7=0
mi viene chiesto:
a) esiste λ tale che il piano sia ortogonale a r?
b) per quali λ la retta r incide il piano
c) sia πλ0 parallelo a r: determinare la distanza di r da πλ0, ed un equazione del piano σ contenente r e ortogonale a πλ0.
il mio problema è nel punto c..
però vi chiedo prima se i punti a e b li ho svolti correttamente che non si sa mai
a)scrivo r in forma parametrica per ricavarmi il vettore, che mi viene vr=(-5/4, 1/2, 1)
poi per l'ortogonalità devo fare il prodotto vettoriale tra vr e il vettore giacitura del piano cioè nπλ e porlo uguale a zero.
ottengo λ=0
b) retta e piano sono incidenti se ho il prodotto scalare tra i vettori di ciascuno diverso da zero.
in questo caso ottengo λ=2
c) qui mi complico tutto.. e non capisco come dare un valore a λ per ottenere un piano parallelo a r.
l'essere paralleli vorrebbe dire avere il prodotto scalare uguale a zero.. Ma prima ho verificato che non lo è..
e quindi come faccio???
senza questo pezzo non posso andare avanti
Aiutatemi per favore
Risposte
Premetto che non ho controllato i calcoli. Naturalmente vi chiedo di corregermi se dico sciocchezze.
Ricorda che i vettori che determinano la giacitura di un piano sono due e non uno.
Un altro modo sarebbe ricavarti il vettore ortogonale al piano a partire dall'equazione cartesiana e verificare i valori di λ per cui è parallelo al vettore che genera la retta (se sono paralleli, allora uno è multiplo dell'altro).
Preferisco vederla così: se sono incidenti, allora esiste λ che verifica il sistema ottenuto dalle equazioni di retta e piano.
L'essere paralleli vuol dire che il vettore che genera la retta è combinazione lineare dei vettori che generano il piano (se il prodotto scalare è diverso da zero, potrebbero anche essere incidenti...). Prova a risolverlo così. Se hai ancora problemi, chiedi ancora, e se ho detto fesserie fammi sapere
"Sweet Angel":
Mi sono imbattuta in un problema risolvendo degli esercizi.
Ho una retta r
{2y-z+4=0
{2x+5y+10=0
e un piano
πλ: (2+λ)x-4y+(3+2λ)z+7=0
mi viene chiesto:
a) esiste λ tale che il piano sia ortogonale a r?
b) per quali λ la retta r incide il piano
c) sia πλ0 parallelo a r: determinare la distanza di r da πλ0, ed un equazione del piano σ contenente r e ortogonale a πλ0.
il mio problema è nel punto c..
però vi chiedo prima se i punti a e b li ho svolti correttamente che non si sa mai
a)scrivo r in forma parametrica per ricavarmi il vettore, che mi viene vr=(-5/4, 1/2, 1)
poi per l'ortogonalità devo fare il prodotto vettoriale tra vr e il vettore giacitura del piano cioè nπλ e porlo uguale a zero.
ottengo λ=0
Ricorda che i vettori che determinano la giacitura di un piano sono due e non uno.
Un altro modo sarebbe ricavarti il vettore ortogonale al piano a partire dall'equazione cartesiana e verificare i valori di λ per cui è parallelo al vettore che genera la retta (se sono paralleli, allora uno è multiplo dell'altro).
"Sweet Angel":
b) retta e piano sono incidenti se ho il prodotto scalare tra i vettori di ciascuno diverso da zero.
in questo caso ottengo λ=2
Preferisco vederla così: se sono incidenti, allora esiste λ che verifica il sistema ottenuto dalle equazioni di retta e piano.
"Sweet Angel":
c) qui mi complico tutto.. e non capisco come dare un valore a λ per ottenere un piano parallelo a r.
l'essere paralleli vorrebbe dire avere il prodotto scalare uguale a zero.. Ma prima ho verificato che non lo è..
e quindi come faccio???
L'essere paralleli vuol dire che il vettore che genera la retta è combinazione lineare dei vettori che generano il piano (se il prodotto scalare è diverso da zero, potrebbero anche essere incidenti...). Prova a risolverlo così. Se hai ancora problemi, chiedi ancora, e se ho detto fesserie fammi sapere
"emmeffe90":
a)scrivo r in forma parametrica per ricavarmi il vettore, che mi viene vr=(-5/4, 1/2, 1)
poi per l'ortogonalità devo fare il prodotto vettoriale tra vr e il vettore giacitura del piano cioè nπλ e porlo uguale a zero.
ottengo λ=0
Ricorda che i vettori che determinano la giacitura di un piano sono due e non uno.
Un altro modo sarebbe ricavarti il vettore ortogonale al piano a partire dall'equazione cartesiana e verificare i valori di λ per cui è parallelo al vettore che genera la retta (se sono paralleli, allora uno è multiplo dell'altro).
il vettore del piano dovrebbe essere (2+λ, -4, 3+2λ), non capisco come faccio a trovarne due sinceramente, ho sempre creduto fosse uno.
dall'equazione parametrica del piano, devo passare a quella cartesiana? ma come?
non devo trovare che è parallelo alla retta, ma perpendicolare ad essa..
"emmeffe90":
[quote="Sweet Angel"]b) retta e piano sono incidenti se ho il prodotto scalare tra i vettori di ciascuno diverso da zero.
in questo caso ottengo λ=2
Preferisco vederla così: se sono incidenti, allora esiste λ che verifica il sistema ottenuto dalle equazioni di retta e piano.
ok giusto..[/quote]
io arrivo alla fine del prodotto vettoriale con 4λ/4=0 quindi λ deve essere =0 per verificare l'incidenza.. dico bene?
"emmeffe90":
[quote="Sweet Angel"]c) qui mi complico tutto.. e non capisco come dare un valore a λ per ottenere un piano parallelo a r.
l'essere paralleli vorrebbe dire avere il prodotto scalare uguale a zero.. Ma prima ho verificato che non lo è..
e quindi come faccio???
L'essere paralleli vuol dire che il vettore che genera la retta è combinazione lineare dei vettori che generano il piano (se il prodotto scalare è diverso da zero, potrebbero anche essere incidenti...). Prova a risolverlo così. Se hai ancora problemi, chiedi ancora, e se ho detto fesserie fammi sapere
[/quote]a me resta sempre il problema che non so trovare 2 vettori che generano il piano ma solo 1, come ho scritto sopra
a)L'equazione cartesiana del piano ce l'hai già: da quella ti ricavi il vettore ortogonale al piano, che è (2+λ, -4, 3+2λ) come hai scritto. Ora, se devi trovare la retta ortogonale al piano, il vettore che la genera, essendo anch'esso ortogonale al piano, dovrà essere parallelo al vettore che hai trovato...
Poi il metodo che usi tu, cioè facendo il prodotto scalare e ponendolo uguale a zero, è giusto, però i vettori che generano un piano sono 2, non uno, perché il piano ha dimensione 2. Per trovarli, puoi passare alle equazioni parametriche, oppure trovi due vettori linearmente indipendenti e ortogonali al solito vettore di sopra. Poi, una volta trovati, verifichi il prodotto scalare tra il vettore che genera la retta e tutti e due questi vettori: deveessere zero in tutti e due i casi, altrimenti la retta non è ortogonale al piano. Io forse sbaglio i calcoli, ma non trovo nessun valore di λ. Spero di non aver creato confusione...
b)Anche qui, non so se i miei calcoli sono corretti, ma ottengo che deve essere $λ!=-30/13$
Però a quest'ora non sono affidabile dal punto di vista dei calcoli
c)Prova a fare come ti ho detto per trovare i vettori, e facci sapere
Poi il metodo che usi tu, cioè facendo il prodotto scalare e ponendolo uguale a zero, è giusto, però i vettori che generano un piano sono 2, non uno, perché il piano ha dimensione 2. Per trovarli, puoi passare alle equazioni parametriche, oppure trovi due vettori linearmente indipendenti e ortogonali al solito vettore di sopra. Poi, una volta trovati, verifichi il prodotto scalare tra il vettore che genera la retta e tutti e due questi vettori: deveessere zero in tutti e due i casi, altrimenti la retta non è ortogonale al piano. Io forse sbaglio i calcoli, ma non trovo nessun valore di λ. Spero di non aver creato confusione...
b)Anche qui, non so se i miei calcoli sono corretti, ma ottengo che deve essere $λ!=-30/13$
Però a quest'ora non sono affidabile dal punto di vista dei calcoli c)Prova a fare come ti ho detto per trovare i vettori, e facci sapere
a) ma il piano è già in equazione parametrica dato che contiene λ O.o
due vettori linearmente indipendenti e ortogonali rispetto (2+λ, -4, 3+2λ) come si fanno a trovare? sto andando in crisi
due vettori linearmente indipendenti e ortogonali rispetto (2+λ, -4, 3+2λ) come si fanno a trovare? sto andando in crisi
"Sweet Angel":
due vettori linearmente indipendenti e ortogonali rispetto (2+λ, -4, 3+2λ) come si fanno a trovare? sto andando in crisi
Basta fare il prodotto scalare e porlo uguale a zero
Ma è necessario che tu lo risolva per via analitica?
Ti propongo una risoluzione geometrica (che ben preferisco!):
un piano è parallelo ad una retta se $al+bm+cn=0$ con $a,b,c$ coefficienti del piano e $l,m,n$ parametri di direzione della retta. Imponendo la condizione cui sopra otterrai un valore di $lambda_0$ per la quale il tuo piano sarà parallelo ad $r$.
Poichè piano e retta son paralleli la distanza tra $pi_(lambda_0)$ ed $r$ è equivalente alla distanza di un qualsiasi punto su $r$ rispetto a $pi_(lambda_0)$ scelto il punto, basterà applicare la nota formula.
Ora considera il fascio di piani di asse $r$. Imponendo che $a$$a'+b$$b'+c$$c'=0$ otterrai il valore di $lambda$ e troverai così il piano $sigma$.
Un piccolo appunto, non mi sono preso la briga di leggere tutto ciò che avevate scritto, però: questo tipo di Geometria è molto più bella, ed interessante IMHO, se riuscite ad immaginare nello spazio gli enti ed a modellarli alle vostre esigenze. Una risoluzione troppo analitita la trovo un pò, sterile... ma sono solo mie opinioni.
Ti propongo una risoluzione geometrica (che ben preferisco!):
un piano è parallelo ad una retta se $al+bm+cn=0$ con $a,b,c$ coefficienti del piano e $l,m,n$ parametri di direzione della retta. Imponendo la condizione cui sopra otterrai un valore di $lambda_0$ per la quale il tuo piano sarà parallelo ad $r$.
Poichè piano e retta son paralleli la distanza tra $pi_(lambda_0)$ ed $r$ è equivalente alla distanza di un qualsiasi punto su $r$ rispetto a $pi_(lambda_0)$ scelto il punto, basterà applicare la nota formula.
Ora considera il fascio di piani di asse $r$. Imponendo che $a$$a'+b$$b'+c$$c'=0$ otterrai il valore di $lambda$ e troverai così il piano $sigma$.
Un piccolo appunto, non mi sono preso la briga di leggere tutto ciò che avevate scritto, però: questo tipo di Geometria è molto più bella, ed interessante IMHO, se riuscite ad immaginare nello spazio gli enti ed a modellarli alle vostre esigenze. Una risoluzione troppo analitita la trovo un pò, sterile... ma sono solo mie opinioni.
"mistake89":
Ma è necessario che tu lo risolva per via analitica?
Ti propongo una risoluzione geometrica (che ben preferisco!):
un piano è parallelo ad una retta se $al+bm+cn=0$ con $a,b,c$ coefficienti del piano e $l,m,n$ parametri di direzione della retta. Imponendo la condizione cui sopra otterrai un valore di $lambda_0$ per la quale il tuo piano sarà parallelo ad $r$.
ma è la stessa cosa che ho fatto per vedere per quali valori di λ ho l'incidenza..
quindi mi verrebbe di nuovo lo stesso risultato o.o
"emmeffe90":
Basta fare il prodotto scalare e porlo uguale a zero
ma il prodotto scalare usando cosa oltre il vettore che ho scritto? O.o
si è la stessa cosa, però lì $lambda$ doveva essere diverso al valore trovato, qui uguale.
La motivazione è semplice. Un piano e una retta in uno spazio o sono paralleli o sono... incidenti! Quindi escluso il valore di $lambda$ per il quale essi risultano paralleli, per tutti gli altri valori di $lambda$ vi sarà l'incidenza.
La motivazione è semplice. Un piano e una retta in uno spazio o sono paralleli o sono... incidenti! Quindi escluso il valore di $lambda$ per il quale essi risultano paralleli, per tutti gli altri valori di $lambda$ vi sarà l'incidenza.
"Sweet Angel":
ma il prodotto scalare usando cosa oltre il vettore che ho scritto? O.o
Per prima cosa, devi passare alle equazioni parametriche del piano. Quella che hai è l'equazione cartesiana (non farti ingannare da λ): devi assegnare due variabili libere, ad esempio così: puoi assegnare una variabile libera a x e z, cioè poni $x=t; z=s$, e li sostituisci all'equazione che hai: ottieni quindi $ { ( x=t ),( y=7/4+(2+λ)/4t+(3+2λ)/4s ),( z=s ):} $. Da qui ti ricavi due vettori che generano il piano: $v=(1,(2+λ)/4,0) , w=(0,(3+2λ)/4,1)$. Quindi, preso il vettore che genera la retta, fai il prodotto scalare con entrambi e lo poni uguale a zero. Prova così, se non è chiaro chiedi ancora
okok che stupida avate ragione
ora ho risolto tutto! grazie
ora ho risolto tutto! grazie
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