Piano che interseca una sfera secondo una circonferenza
" In $R^3$ si consideri la sfera S: $x^3$+$y^2$+$z^2$+2x-y-2z=0
- Determinare un piano $\pi$ che intersechi la sfera S secondo una circonferenza C=S $nn$ $\pi$ di raggio 1/2
- Determinare le coordinate del centro della circonferenza C trovata al punto prima."
Prima di tutto ho completato i quadrati nella sfera, ottenendo: $(x+1)^2$+$(y-1/2)^2$+$(z-1)^2$=9/4
Il centro della sfera risulta così $C_s$=(-1,1/2,1) e raggio=3/2.
La distanza tra il centro della sfera e il centro della circonferenza risulta così: $sqrt(9/4-1/4)$=$sqrt(2)$
A questo punto si possono utilizzare almeno due metodi, quello più generale sinceramente non ho idea di come si faccia e per questo chiederei il vostro aiuto, l'altro è una specie di artifizio. Aggiungo la distanza fra i due centri ad una delle dimensioni del centro, ottenendo così il centro della circonferenza: C'=(-1,1/2+$sqrt(2)$,1).
Trovo il vettore direzionale della retta passante per i due centri= (0,$sqrt(2)$,0). Impongo la condizione di ortogonalità del piano rispetto alla retta: (a,b,c)=p(0,$sqrt(2)$,0) quindi a=0,b=p$sqrt(2)$,c=0. Il piano cercato sarebbe y$sqrt(2)$-$sqrt(2)$/2 -2=0.
Si può fare? Il piano trovato è "giusto"? Oppure in che modo posso muovermi?
- Determinare un piano $\pi$ che intersechi la sfera S secondo una circonferenza C=S $nn$ $\pi$ di raggio 1/2
- Determinare le coordinate del centro della circonferenza C trovata al punto prima."
Prima di tutto ho completato i quadrati nella sfera, ottenendo: $(x+1)^2$+$(y-1/2)^2$+$(z-1)^2$=9/4
Il centro della sfera risulta così $C_s$=(-1,1/2,1) e raggio=3/2.
La distanza tra il centro della sfera e il centro della circonferenza risulta così: $sqrt(9/4-1/4)$=$sqrt(2)$
A questo punto si possono utilizzare almeno due metodi, quello più generale sinceramente non ho idea di come si faccia e per questo chiederei il vostro aiuto, l'altro è una specie di artifizio. Aggiungo la distanza fra i due centri ad una delle dimensioni del centro, ottenendo così il centro della circonferenza: C'=(-1,1/2+$sqrt(2)$,1).
Trovo il vettore direzionale della retta passante per i due centri= (0,$sqrt(2)$,0). Impongo la condizione di ortogonalità del piano rispetto alla retta: (a,b,c)=p(0,$sqrt(2)$,0) quindi a=0,b=p$sqrt(2)$,c=0. Il piano cercato sarebbe y$sqrt(2)$-$sqrt(2)$/2 -2=0.
Si può fare? Il piano trovato è "giusto"? Oppure in che modo posso muovermi?
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