Piano

[Beatrice filippelli]

Ho tre punti
Le colenne A= $ (1,1,1) $ B: $ (2,0,-1) $ C: $ (1,1,0) $
I tre punti non sono allineati
Bisogna determinare il piano che li contiene
Qualcuno può dirmi se il risultato è corretto? x+y=2
Grazie

[marcorossi94]

Allora
Siamo in $RR^3$ (i punti hanno tre coordinate), quindi lo spazio ambiente ha dimensione tre.
Il piano è un oggetto di dimensione due, quindi per descriverlo in forma cartesiana, servono 3-2=1 equazioni.
Imposto allora l'equazione di un piano generico:
$ax+by+cz+d=0$, supponendo $a!=0$ posso dividere tutto per $a$ e rinominare i coefficienti.
Quindi
$x+by+cz+d=0$

Ora imponi il passaggio per i tre punti ed ottieni un sistema 3x3 , che ti fa trovare b,c,d

[Valery Beauchamp]

Ciao, ci sono vari metodi per calcolarlo ed è unico appunto perchè non sono 3 punti allineati.
Confermo che dai miei calcoli x+y-2=0 è il piano cercato!

[Beatrice filippelli]

Grazie mille

[sandroroma]

Esiste anche un procedimento geometrico-analitico (o "vettoriale") che vado a sviluppare.
Calcoliamo dapprima i vettori
$p=B-A=(1,-1,-2)$ e $q=C-A=(0,0,-1)$
Successivamente si calcola il vettore $n$ come prodotto vettore tra $p$ e $q$:
$n=p\wedge q$
Risulta :
$n=(1,1,0)$
A questo punto è sufficiente scrivere l'equazione del piano passante per A ed avente
n come vettore direzionale:
$1(x-1)+1(y-1)+0(z-1)=0$
Ovvero:
$x+y-2=0$
che è l'equazione richiesta.