Piani tangenti alla sfera
Aiuto, ho un problema! inizia bene la giornata! 
Determinare, se esistono, i piani tangenti alla sfera di equazione
$\Sigma : x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z = 0$
e passanti per la retta $r$ di equazioni
$\{(x = 2t + 1),(y = t - 2),(z = -t + 1):}$
Mi spiegate il procedimento?
Determinare, se esistono, i piani tangenti alla sfera di equazione
$\Sigma : x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z = 0$
e passanti per la retta $r$ di equazioni
$\{(x = 2t + 1),(y = t - 2),(z = -t + 1):}$
Mi spiegate il procedimento?
Risposte
Costruisci il fascio (con parametro $k$) di piani passanti per la retta $r$. Metti a sistema il fascio con la circonferenza ed imponi la tangenza: un modo di farlo è prendere le soluzioni di questo sistema (che saranno dipendenti dal parametro $k$) ottenute ed imporre che la loro distanza dal centro della sfera sia esattamente uguale al raggio.
Paola
Paola
Calcolo l'equazione cartesiana di $r$ e ottengo: $\{(x-2y-5 = 0),(y+z+1 = 0):}$
Quindi l'equazione del fascio sarà: $F: x-2y-5 + k(y+z+1) =0$
è giusto?
Quindi l'equazione del fascio sarà: $F: x-2y-5 + k(y+z+1) =0$
è giusto?
Sì, con una piccola precisazione. Ci sono due modi di scrivere quel fascio: uno è il tuo, l'altro è:
$k_1(x-2y-5)+k_2(y+z+1)=0$
Se si suppone $k_1\ne 0$, si divide per $k_1$ e si rinomina $(k_2)/(k_1)=k$ si ottiene il tuo. Il punto è che quando si suppone $k_1\ne 0$ si "rinuncia" al piano $y+z+1=0$ che sarebbe quello ottenuto con quel valore. Quindi per essere sicuri che questa rinuncia non comporti la perdita di una soluzione, controlla che questo piano non sia uno di quelli tangenti che cerchi. Se non lo è bene, continua sulla strada che hai iniziato. Se lo è tienilo da parte e presentalo alla fine nella soluzione.
Paola
$k_1(x-2y-5)+k_2(y+z+1)=0$
Se si suppone $k_1\ne 0$, si divide per $k_1$ e si rinomina $(k_2)/(k_1)=k$ si ottiene il tuo. Il punto è che quando si suppone $k_1\ne 0$ si "rinuncia" al piano $y+z+1=0$ che sarebbe quello ottenuto con quel valore. Quindi per essere sicuri che questa rinuncia non comporti la perdita di una soluzione, controlla che questo piano non sia uno di quelli tangenti che cerchi. Se non lo è bene, continua sulla strada che hai iniziato. Se lo è tienilo da parte e presentalo alla fine nella soluzione.
Paola
Ok grazie per la precisazione.
Ora devo fare il sistema tra fascio e circonferenza e qui mi blocco di nuovo. Come faccio?
Ora devo fare il sistema tra fascio e circonferenza e qui mi blocco di nuovo. Come faccio?
Posta i calcoli, così vediamo dov'è il problema.
Paola
Paola
Il sistema è dato da: $\{(x-2y-5+k(y+z+1)=0),(x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z=0):}$
Ricavando la $x$ dalla prima equazione per esempio otteniamo: $x = 2y+5-k(y+z+1)=0
Quando la sostituisco nella seconda devo fare il quadrato di tutto ciò, mi sembra quindi che sto sbagliando qualcosa..
Ricavando la $x$ dalla prima equazione per esempio otteniamo: $x = 2y+5-k(y+z+1)=0
Quando la sostituisco nella seconda devo fare il quadrato di tutto ciò, mi sembra quindi che sto sbagliando qualcosa..
Scrivi il fascio avente come asse la retta, ti trovi raggio e centro della sfera, e poi imponi la distanza del centro della sfera da un generico piano del fascio, uguale al raggio; ti verrà un'equazione con incognite i due parametri del fascio, e dovrebbero venirti due soluzioni, perchè se c'è un piano tangente, significa che ce ne sono due.
Dopo aver calcolato il fascio di piano per $r$, il centro della sfera e il raggio, quali sono i passaggi per trovare le due incognite?
Ad un certo punto mi esce: $4k-8h = \pm (24h^2 - 96hk + 24k^2)$
Come proseguo?
Ad un certo punto mi esce: $4k-8h = \pm (24h^2 - 96hk + 24k^2)$
Come proseguo?
ammettendo che tu abbia fatto i calcoli bene, devi dividere in due il sistema e continuare con due equazioni distinte, non intersecate, devi trovarti "k" in funzione di "h" (o viceversa) e poi sostituire nel fascio.
Non mi escono i calcoli
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