Piani invarianti

[Sk_Anonymous]

un esercizio dice: data A matrice 3x3 non diagonalizzabile con dato polinomio caratteristico $P(x)$ $=$ $(x-1)(x-2)^2$ simile alla matrice $B$ $=$ $((1,0,0),(0,2,1),(0,0,2))$ dimostrare che A ha esattamente 2 PIANI invarianti

ora, gli spazi invarianti sotto una trasformazione lineare sono i suoi autospazi giusto? poichè il polinomio caratteristico di B è identico a quello di A e per ipotesi A è simile a B entrambe hanno gli stessi autovalori quindi gli stessi autovettori quindi gli stessi autospazi. Ora io per la matrice B ho trovato come autospazi i vettori $((1),(0),(0))$ e il vettore $((0),(1),(0))$ ma queste sono 2 rette non 2 piani!

sbaglio io o c' è un errore nel testo?

[franced]

"darkway":un esercizio dice: data A matrice 3x3 non diagonalizzabile con dato polinomio caratteristico $P(x)$ $=$ $(x-1)(x-2)^2$ simile alla matrice $B$ $=$ $((1,0,0),(0,2,1),(0,0,2))$ dimostrare che A ha esattamente 2 PIANI invarianti

I piani invarianti sono

$\pi_1$ : $z = 0$

$\pi_2$ : $x = 0$

[franced]

"darkway": poichè il polinomio caratteristico di B è identico a quello di A e per ipotesi A è simile a B entrambe hanno gli stessi autovalori quindi gli stessi autovettori quindi gli stessi autospazi.

Non è vero.

Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, ma non necessariamente gli stessi autospazi!!

Esempio:

$A = ((3,-1),(2,0))$ ; $B=((1,-1),(0,2))$

le due matrici sono simili ma prova a guardare se hanno gli stessi autospazi..