Piani e rette
Data la retta
1) $\{(x=y),(z=y):}$ e il piano $\pi$ : $ x+2y+z+3=0$
Trovare il piano per r ortogonale a $\pi$.
2) Dato il punto $A=(1,1,1)$ la retta $r:$ $\{(2x-y-2=0),(x-2z=1):}$ e il piano $pi : 2x-y+z-1=0$
Si scriva la retta per $A$ incidente $r$ e parallela a $pi$.
Iniziamo con il numero 1
Allora io ho pensato al fascio di piani per r e tra questi prendere quello ortogonale a $\pi$. Ma non riesco a capire come fare...Qualcuno mi aiuta?
Ho pensato che due piani per essere ortogonali dovrà risultare nullo il prodotto scalare dei loro vettori normali. Però poi non so cosa altro fare...Qualcuno che mi aiuti?Grazie mille in anticipo...!
1) $\{(x=y),(z=y):}$ e il piano $\pi$ : $ x+2y+z+3=0$
Trovare il piano per r ortogonale a $\pi$.
2) Dato il punto $A=(1,1,1)$ la retta $r:$ $\{(2x-y-2=0),(x-2z=1):}$ e il piano $pi : 2x-y+z-1=0$
Si scriva la retta per $A$ incidente $r$ e parallela a $pi$.
Iniziamo con il numero 1
Allora io ho pensato al fascio di piani per r e tra questi prendere quello ortogonale a $\pi$. Ma non riesco a capire come fare...Qualcuno mi aiuta?
Ho pensato che due piani per essere ortogonali dovrà risultare nullo il prodotto scalare dei loro vettori normali. Però poi non so cosa altro fare...Qualcuno che mi aiuti?Grazie mille in anticipo...!
Risposte
è giusta la tua idea...
ti ricordo che due piani sono ortogonali tra loro se e solo se $aa'+b$$b'+c$$c'=0$ dove ovviamente ho assunto le equazioni dei piani $pi:ax+by+cz+d=0$ e $pi':a'x+b'y+c'z+d'=0$
Prendi il tuo fascio di piani di asse $r$ $x-(1+lambda)y+lambdaz=0$, imponi la condizione cui sopra e trovi il valore di $lambda$ ed hai finito!
ti ricordo che due piani sono ortogonali tra loro se e solo se $aa'+b$$b'+c$$c'=0$ dove ovviamente ho assunto le equazioni dei piani $pi:ax+by+cz+d=0$ e $pi':a'x+b'y+c'z+d'=0$
Prendi il tuo fascio di piani di asse $r$ $x-(1+lambda)y+lambdaz=0$, imponi la condizione cui sopra e trovi il valore di $lambda$ ed hai finito!
Ciao grazie per la risposta...
Non ho capito come è venuto fuori quel fascio...(scusa so che è banale)
Io mi trovo cosi:
$\lambda(x-y)+mu(z-y)$
Non ho capito come è venuto fuori quel fascio...(scusa so che è banale)
Io mi trovo cosi:
$\lambda(x-y)+mu(z-y)$
ho semplicemente imposto che uno dei due parametri, precisamente il tuo $lambda$ sia uguale ad $1$, ottengo così il fascio aperto, che con qualche accortezza, è più facile da gestire
Grazie...Ho capito anche cos'è un fascio aperto grazie a questa tua risposta (https://www.matematicamente.it/forum/pia ... 12-10.html)...
Adesso impostando il tutto mi verrebbe fuori questo:
$x-(1-lambda)y+lambdaz$
Imponendo l'ortogonalità con il piano dato ottengo:
$1(1)+2(lambda-1)+ 1(lambda)$
$1+2lambda-2+lambda$
$lambda=1/3$
Quindi il piano cercato è:
$x-2/3y+1/3z=0$
Giusto??
Adesso impostando il tutto mi verrebbe fuori questo:
$x-(1-lambda)y+lambdaz$
Imponendo l'ortogonalità con il piano dato ottengo:
$1(1)+2(lambda-1)+ 1(lambda)$
$1+2lambda-2+lambda$
$lambda=1/3$
Quindi il piano cercato è:
$x-2/3y+1/3z=0$
Giusto??
Se i conti son corretti direi di sì.
Grazie mille mi sei stato di grande aiuto!
Ho postato nel primo post anche un secondo quesito se riuscissi a dargli uno sguardo te ne sarei grato...Grazie comunque!
Ho postato nel primo post anche un secondo quesito se riuscissi a dargli uno sguardo te ne sarei grato...Grazie comunque!
Prego!
Quanto al secondo problema non è difficile. Prendi un piano parallelo a $pi$ passante per $A$. Chiama $Q$ l'intersezione di questo piano con $r$ la retta $[AQ]$ è la retta cercata.
Quanto al secondo problema non è difficile. Prendi un piano parallelo a $pi$ passante per $A$. Chiama $Q$ l'intersezione di questo piano con $r$ la retta $[AQ]$ è la retta cercata.
Grazie mille, con la tua procedura ho svolto anche il secondo. Grazie infinite!Ciao
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