Piani che segano un cono in una parabola

[radicestorta]

ciao ragazzi volevo chiarire dei dubbi su un esercizio che stavo provando a fare il testo dice

"fissato nello spazio affine euclideo tridimensionale usuale $E^3$ un riferimento cartesiano ortonormale $RC(O,x,y,z)$,
determinare i piani che passano per i punti $A=A(1,0,0)$,$B=B(0,1,4)$ e segano il cono $Q:x^2+2y^2+3xy+yz=0$ in una parabola"

io ho iniziato considerando che $Q$ è un cono con vertice nell' origine essendo che in coordinate omogenee non compare la "$t$" scrivo allora la retta(in forma ridotta) passante per i due punti dati,ossia :

[tex]\left\{\begin{matrix}x=1-\frac{1}{4}z
& \\y=\frac{1}{4}z
&
\end{matrix}\right.[/tex]

da cui ho ricavato il generico piano per i punti A,B,ossia:


[tex]\lambda(x-1+\frac{1}{4}z)+\mu (y-\frac{1}{4}z)[/tex]

ora devo imporre che sia parallelo a una delle generatrici,ma qui non so cosa fare,devo semplicemente scrivere una retta generica per il vertice V=V(0,0,0)?e poi imporre il parallelismo?

[ciampax]

Ragiona in termini di giacitura del piano: come deve essere fatta affinché il piano stesso determini una parabola? Tu hai detto giustamente che il piano deve essere parallelo alle generatrici (che hanno direzione?) e quindi la giacitura, rispetto a tali direzioni, deve essere?

[radicestorta]

è giusto andarci "al contrario" nel senso che impongo che le direttrici debbano essere perpendicolari(e quindi parallele al piano per A,B) alla retta che ho scritto io per i punti A,B ,e poi scrivere il piano generico in modo che abbia giacitura parallela alla direttrice trovata?detto cosi sembra incasinato in effetti -.-

[ciampax]

In realtà hai appena espresso, in forma diversa, quello che intendevo io: la giacitura e le generatrici devono essere ortogonali. A questo punto basta determinare la generica giacitura dei piani, trovare l'espressione della direzione delle generatrici, fare il prodotto scalare, porlo uguale a zero e ricavare una condizione per $\mu$ e $\lambda$.