Piani affini in R4
EDIT:
Siano in [tex]\Re ^{4}[/tex] due piani affini, sghembi, E e F.
Mostrare che [tex]dim(dir(E) \cap dir(F) ) =1[/tex].
Dunque, io ho ragionato così: se E e F sono sghembi, non sono paralleli, quindi le loro direzioni sono diverse, quindi :
[tex]dir(E) \cap dir(F)[/tex] non può essere un piano (perchè sennò questi sarebbero coincidenti), dunque
[tex]dim(dir(E) \cap dir(F) ) <2[/tex]
La dimensione dell' intersezione può essere quindi una retta ma anche un punto (questo è possibile in [tex]\Re ^{4}[/tex]).
E da qui non riesco a procedere.
Siano in [tex]\Re ^{4}[/tex] due piani affini, sghembi, E e F.
Mostrare che [tex]dim(dir(E) \cap dir(F) ) =1[/tex].
Dunque, io ho ragionato così: se E e F sono sghembi, non sono paralleli, quindi le loro direzioni sono diverse, quindi :
[tex]dir(E) \cap dir(F)[/tex] non può essere un piano (perchè sennò questi sarebbero coincidenti), dunque
[tex]dim(dir(E) \cap dir(F) ) <2[/tex]
La dimensione dell' intersezione può essere quindi una retta ma anche un punto (questo è possibile in [tex]\Re ^{4}[/tex]).
E da qui non riesco a procedere.
Risposte
credo di aver capito..
la soluzione si completa utilizzando le matrici delle intersezioni E con F, e dir(E) con dir(F), e grazie a Rouchè-Capelli.
la soluzione si completa utilizzando le matrici delle intersezioni E con F, e dir(E) con dir(F), e grazie a Rouchè-Capelli.
Se la mia memoria non mi inganna, due spazi affini sono sghembi se hanno intersezione vuota e se non sono paralleli.
Se è così, la proprietà che stai cercando di dimostrare è clamorosamente falsa!
Ecco un controesempio: siano [tex]O(0,0,0,0)[/tex], [tex]A(0,0,0,1)[/tex] ed [tex]e_1,e_2,e_3,e_4[/tex] la base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex].
Consideriamo i piani affini [tex]E\sim (O,)[/tex] e [tex]F\sim (A,)[/tex].
(Non so che tipo di notazioni usi. Qualcuno li denota anche con [tex]E=O+[/tex] e [tex]F=A+[/tex])
Puoi verificare facilmente che [tex]E\cap F=\emptyset[/tex] e che [tex]E,F[/tex] non sono paralleli. Quindi sono sghembi.
Ma l'intersezione degli spazi direttori di [tex]E[/tex] ed [tex]F[/tex] è [tex][/tex] che ha dimensione [tex]1[/tex].
Se è così, la proprietà che stai cercando di dimostrare è clamorosamente falsa!
Ecco un controesempio: siano [tex]O(0,0,0,0)[/tex], [tex]A(0,0,0,1)[/tex] ed [tex]e_1,e_2,e_3,e_4[/tex] la base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex].
Consideriamo i piani affini [tex]E\sim (O,
(Non so che tipo di notazioni usi. Qualcuno li denota anche con [tex]E=O+
Puoi verificare facilmente che [tex]E\cap F=\emptyset[/tex] e che [tex]E,F[/tex] non sono paralleli. Quindi sono sghembi.
Ma l'intersezione degli spazi direttori di [tex]E[/tex] ed [tex]F[/tex] è [tex]
oh mamma ho sbagliato a scrivere..
era 1 la dim dell intersezione...
ma ho sbagliato solo a scrivere qui sul forum... comunque la dimostrazione va bene..
era 1 la dim dell intersezione...
ma ho sbagliato solo a scrivere qui sul forum... comunque la dimostrazione va bene..
Va bene! 
Un'altra idea per la dimostrazione è la sempreverde formula di Grassmann affine (se non la conosci, fammi un fischio e ti dò un riferimento).
Un'altra idea per la dimostrazione è la sempreverde formula di Grassmann affine (se non la conosci, fammi un fischio e ti dò un riferimento).
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