Perplessità su equazione Imf
In un endomorfismo [tex]f:R^3->R^3[/tex] dalla legge:
[tex]f(x,y,z)=(x+z,2x+(h-1)y+2z,x-(1+h-h^2)z)[/tex]
Mi si chiede di determinare Kerf e Imf, cioè una loro base e le eventuali equazioni. Intanto come mai trovo scritto eventuali? Potrebbe capitare che non esistano le equazioni?
Nello studiare la matrice associata alla f trovo diversi valori di k da studiare, il mio problema è il caso generico quando h diverso da quei valori, mi ritrovo questa matrice:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0&1-h &0 \\
0&0 &-h^2+h+2
\end{pmatrix}[/tex]
Io non riesco a ridurla in modo da ottenere nella matrice incompleta una riga tutta nulla per ottenere l' equazione
Altra cosa, quando vedo degli esercizi svolti, in alcuni casi vedo che le righe nulle sono due, e quindi l' equazione è data da un sistema, in altri casi la riga è solo una, quando mi accorgo che devo ottenere due righe o solo una come equazione?
Forse dipende dalla dimensione di Imf? Se è 2 devo ottenere due equazione , se è 3 ne devo ottenere 3....o sbaglio?
[tex]f(x,y,z)=(x+z,2x+(h-1)y+2z,x-(1+h-h^2)z)[/tex]
Mi si chiede di determinare Kerf e Imf, cioè una loro base e le eventuali equazioni. Intanto come mai trovo scritto eventuali? Potrebbe capitare che non esistano le equazioni?
Nello studiare la matrice associata alla f trovo diversi valori di k da studiare, il mio problema è il caso generico quando h diverso da quei valori, mi ritrovo questa matrice:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0&1-h &0 \\
0&0 &-h^2+h+2
\end{pmatrix}[/tex]
Io non riesco a ridurla in modo da ottenere nella matrice incompleta una riga tutta nulla per ottenere l' equazione
Altra cosa, quando vedo degli esercizi svolti, in alcuni casi vedo che le righe nulle sono due, e quindi l' equazione è data da un sistema, in altri casi la riga è solo una, quando mi accorgo che devo ottenere due righe o solo una come equazione?
Forse dipende dalla dimensione di Imf? Se è 2 devo ottenere due equazione , se è 3 ne devo ottenere 3....o sbaglio?
Risposte
Seguendo ciò che hai scritto la matrice io me la trovo di questa forma: $ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 2 , h-1 , 2 ),( 1 , 0 , 1+h-h^2 ) ) $
Poi quando chiede di studiare il nucleo e l'immagine immagino si riferisca al variare di $h in RR$
spiegati meglio...non ho capito
Per il resto delle domande, credo che tu non ti debba fare tanti problemi, nel senso che sono osservazioni che vanno fatte a seconda dell'esercizio, sapere se ci sono un tot numero di equazioni nel sistema non rappresenta una scorciatoia per fare meglio l'esercizio, anzi, spesso induce a fare tutto troppo meccanicamente. Sicuramente c'è un nesso con la dimensione dei sottospazi, ma sono tutte conseguenze dei vari teoremi: Rouchè-Capelli, Cramer ecc...
Poi quando chiede di studiare il nucleo e l'immagine immagino si riferisca al variare di $h in RR$
Io non riesco a ridurla in modo da ottenere nella matrice incompleta una riga tutta nulla per ottenere l' equazione
spiegati meglio...non ho capito
Per il resto delle domande, credo che tu non ti debba fare tanti problemi, nel senso che sono osservazioni che vanno fatte a seconda dell'esercizio, sapere se ci sono un tot numero di equazioni nel sistema non rappresenta una scorciatoia per fare meglio l'esercizio, anzi, spesso induce a fare tutto troppo meccanicamente. Sicuramente c'è un nesso con la dimensione dei sottospazi, ma sono tutte conseguenze dei vari teoremi: Rouchè-Capelli, Cramer ecc...
Si si certo sono stato frettoloso, intendevo dire che quella matrice che ti ho scritto è quella che ho dopo una serie di riduzioni per righe. La matrice dovrebbe essere quella non dovrei avere commesso errori. Quando dico ridurre completamente intendo dire che, se noi avessimo una matrice come questa, ME LA STO INVENTANDO:
[tex]\begin{pmatrix}
4 &3 &2 &x \\
0&0 &0 &x+2y-z \\
2& 0& 0&z-y
\end{pmatrix}[/tex]
La seconda riga ha tutti gli elementi nulli nella matrice incompleta quindi l' equazione di questo mio ipotetico Imf(ribadisco l' ho inventato) sarebbe [tex]x+2y-z=0[/tex]
Quindi tornando al nostro caso io dovrei ridurre ora la matrice fino ad ottenere una riga nulla, ma non ci riesco!
Qualsiasi cosa faccia mi ritrovo sempre almeno un valore che non si può togliere, io so che si deve fare così per trovare l' equazione di Imf.
[tex]\begin{pmatrix}
4 &3 &2 &x \\
0&0 &0 &x+2y-z \\
2& 0& 0&z-y
\end{pmatrix}[/tex]
La seconda riga ha tutti gli elementi nulli nella matrice incompleta quindi l' equazione di questo mio ipotetico Imf(ribadisco l' ho inventato) sarebbe [tex]x+2y-z=0[/tex]
Quindi tornando al nostro caso io dovrei ridurre ora la matrice fino ad ottenere una riga nulla, ma non ci riesco!
Qualsiasi cosa faccia mi ritrovo sempre almeno un valore che non si può togliere, io so che si deve fare così per trovare l' equazione di Imf.
E' strano come procedimento, perchè di solito io non le trovo così le equazioni dell'immagine. Io di solito studiavo il rango della matrice e supponiamo che $dimImf=2$ allora $Imf={(1,0,0),(1,0,2)}$ allora per trovare le equazioni impongo che $ rg( ( x , y , z ),( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2 ) )=2 $ e vai a studiare questa condizione. Lavorare sulla matrice, cioè sommando righe e colonne è un procedimento molto lungo, così fai prima.
Ok perfetto, ho risolto mi hanno detto che quando [tex]Imf=R^3[/tex] Non c' è bisogno di trovare equazione, il mio problema era in quel caso.
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