Perplessità su diagonalizzabilità con parametri
Ciao 
Mi è venuta una perplessità facendo un esercizio. Non riporto tutto l'esercizio, ma solo ala parte "incriminata". Ho la seguente matrice \[
A_t := \begin{pmatrix}
-t & -1 & 1 \\
-t & 0 & 0 \\
1 & -t-1 & 0
\end{pmatrix} \quad\text{con } t \in \mathbb R.\] Se non ho fatto errori, il suo polinomio caratteristico è \[
p_t(x) = -(x+t)(x^2-(t+1)).
\] Chiaramente se \(t < -1\), il polinomio non ha tutti gli zeri in \(\mathbb R\), e quindi la matrice \(A_t\) non è diagonalizzabile. Rimane quindi da esaminare cosa succede quando \(t \ge -1\) e gli autovalori sono \[
-t \ , \quad \sqrt{t+1} \ , \quad -\sqrt{t+1}.
\] Se \(t = -1\), gli autovalori sono \(1, 0, 0\) allora \[
\dim \ker (A_{-1}) = 1 \ne 2 = (\text{molteplicità alg. di 0})
\] e quindi \(A_{-1}\) non è diagonalizzabile.
Parte incriminata. Esamino i casi in cui \(-t = \sqrt{t+1}\) oppure \(-t = -\sqrt{t+1}\). Nel primo caso trovo la soluzione \(\alpha = \frac{1-\sqrt 5}{2}\), nel secondo \(\beta = \frac{1+\sqrt 5}{2}\). Ma \begin{align*}
& \dim \ker (A_\alpha +\alpha I) = 0 \\
& \dim \ker (A_\beta +\beta I) = 0,
\end{align*} è possibile ciò? Questo è equivalente al fatto che \(\alpha\) e \(\beta\) non sono autovalori. Ma sono zeri del polinomio caratteristico: che faccio? li escludo semplicemente e niente?
Nei restanti casi \(A_t\) è diagonalizzabile comunque, essendo gli autovalori diversi.
Grazie mille per l'aiuto.
Mi è venuta una perplessità facendo un esercizio. Non riporto tutto l'esercizio, ma solo ala parte "incriminata". Ho la seguente matrice \[
A_t := \begin{pmatrix}
-t & -1 & 1 \\
-t & 0 & 0 \\
1 & -t-1 & 0
\end{pmatrix} \quad\text{con } t \in \mathbb R.\] Se non ho fatto errori, il suo polinomio caratteristico è \[
p_t(x) = -(x+t)(x^2-(t+1)).
\] Chiaramente se \(t < -1\), il polinomio non ha tutti gli zeri in \(\mathbb R\), e quindi la matrice \(A_t\) non è diagonalizzabile. Rimane quindi da esaminare cosa succede quando \(t \ge -1\) e gli autovalori sono \[
-t \ , \quad \sqrt{t+1} \ , \quad -\sqrt{t+1}.
\] Se \(t = -1\), gli autovalori sono \(1, 0, 0\) allora \[
\dim \ker (A_{-1}) = 1 \ne 2 = (\text{molteplicità alg. di 0})
\] e quindi \(A_{-1}\) non è diagonalizzabile.
Parte incriminata. Esamino i casi in cui \(-t = \sqrt{t+1}\) oppure \(-t = -\sqrt{t+1}\). Nel primo caso trovo la soluzione \(\alpha = \frac{1-\sqrt 5}{2}\), nel secondo \(\beta = \frac{1+\sqrt 5}{2}\). Ma \begin{align*}
& \dim \ker (A_\alpha +\alpha I) = 0 \\
& \dim \ker (A_\beta +\beta I) = 0,
\end{align*} è possibile ciò? Questo è equivalente al fatto che \(\alpha\) e \(\beta\) non sono autovalori. Ma sono zeri del polinomio caratteristico: che faccio? li escludo semplicemente e niente?
Nei restanti casi \(A_t\) è diagonalizzabile comunque, essendo gli autovalori diversi.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
$lambda_1=-t$ è un autovalore. Quando $t=alpha$ è anche uguale ad uno degli altri due autovalori, quindi radice doppia. $lambda_1=lambda_2=-alpha$
Quindi la matrice $(A-lambdaI)=(A+alphaI)=( ( 0 , -1 , 1 ),( -alpha , alpha , 0 ),( 1 , -alpha-1 , alpha ) )$
Stessa cosa per $t=beta$, risolta una, risolta anche l'altra.
Ti conviene non sostituire i valori ma usare $alpha$ (che è un numero).
Troverai che la matrice ha rango 2, quindi il kernel ha sempre dimensione 1.
Quindi la matrice $(A-lambdaI)=(A+alphaI)=( ( 0 , -1 , 1 ),( -alpha , alpha , 0 ),( 1 , -alpha-1 , alpha ) )$
Stessa cosa per $t=beta$, risolta una, risolta anche l'altra.
Ti conviene non sostituire i valori ma usare $alpha$ (che è un numero).
Troverai che la matrice ha rango 2, quindi il kernel ha sempre dimensione 1.
In effetti rivedendo il tutto, ho fatto un errore di segno. Grazie.
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