Perplessità su caratterizzazione soluzione esercizio (dimensione e base)
Buon pomeriggio, matematici tricolore (e non, magari)!
Vorrei chiedervi una mano per la risoluzione di un esercizio, la cui stessa soluzione, dopo averla visionata, mi lascia parecchio perplesso. Dunque, l'esercizio:
Data una matrice
determinare la dimensione di $S:={X=((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) in RR^4: AX=0}$ e calcolare una relativa base.
Come procedereste?
Io ho provato ricavando le relative 4 equazioni del sistema e ponendo le stesse uguali a zero. Il risultato è che $X$ è un vettore del tipo $X=((x_1),(0),(x_1),(0))$, cioè uno in cui la prima e la terza componente sono le medesime.
In realtà, la soluzione dice che $S={X=((x_3-2x_4),(-x_4),(x_3),(x_4))|x_3,x_4 in RR}$ e che una base potrebbe contenere due vettori del tipo $v_1=((1),(0),(1),(0)), v_2=((-2),(-1),(0),(1))$; e non mi spiego come ciò sia possibile dal momento che sostituendo le componenti dei vettori nel sistema precedentemente costruito, esse non sono una soluzione.
Inoltre, fa menzione del $rg(A)=2$ e $dimS=2$, che però sono le uniche parti "chiare".
Grazie in anticipo, e una buona serata!
Vorrei chiedervi una mano per la risoluzione di un esercizio, la cui stessa soluzione, dopo averla visionata, mi lascia parecchio perplesso. Dunque, l'esercizio:
Data una matrice
$A=((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3))$
determinare la dimensione di $S:={X=((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) in RR^4: AX=0}$ e calcolare una relativa base.
Come procedereste?
Io ho provato ricavando le relative 4 equazioni del sistema e ponendo le stesse uguali a zero. Il risultato è che $X$ è un vettore del tipo $X=((x_1),(0),(x_1),(0))$, cioè uno in cui la prima e la terza componente sono le medesime.
In realtà, la soluzione dice che $S={X=((x_3-2x_4),(-x_4),(x_3),(x_4))|x_3,x_4 in RR}$ e che una base potrebbe contenere due vettori del tipo $v_1=((1),(0),(1),(0)), v_2=((-2),(-1),(0),(1))$; e non mi spiego come ciò sia possibile dal momento che sostituendo le componenti dei vettori nel sistema precedentemente costruito, esse non sono una soluzione.
Inoltre, fa menzione del $rg(A)=2$ e $dimS=2$, che però sono le uniche parti "chiare".
Grazie in anticipo, e una buona serata!
Risposte
Qual è la matrice ridotta equivalente ad $A$ ?
"Magma":
Qual è la matrice ridotta equivalente ad $A$ ?
Beh, se non erro è la matrice di rango uguale a 2 $A'=((0,1),(1,0),(1,-1),(2,-1))$, in quanto contenente gli unici due vettori linearmente indipendenti.
La matrice ridotta, tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan, è
ha due pivot e, di conseguenza, due incognite dominanti[nota]$\text{incognite dominanti}=\text{numero pivot}=r(A)$[/nota] e due libere[nota]$4-r(A)=2$[/nota]; quindi possiamo affermare che il sistema ha $oo^2$ soluzioni, e sono:
ovvero quelle riportate dalla soluzione del tuo esercizio
da cui si può ricavare che:
E pare proprio che
$ A'=((1,0,-1,2),(0,1,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0)) $
ha due pivot e, di conseguenza, due incognite dominanti[nota]$\text{incognite dominanti}=\text{numero pivot}=r(A)$[/nota] e due libere[nota]$4-r(A)=2$[/nota]; quindi possiamo affermare che il sistema ha $oo^2$ soluzioni, e sono:
$S: { ( x_1=x_3-2x_4 ),( x_2=-x_4 ),( x_3 in RR ),( x_4 in RR ):}$
ovvero quelle riportate dalla soluzione del tuo esercizio
$ S={X=((x_3-2x_4),(-x_4),(x_3),(x_4))|x_3,x_4 in RR} $
da cui si può ricavare che:
$S=mathcal(L){((1),(0),(1),(0)), ((-2),(-1),(0),(1))} $
E pare proprio che
$ ((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3))((1),(0),(1),(0))=bar(0) $
$ ((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3))((-2),(-1),(0),(1))=bar(0) $
$ ((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3))((-2),(-1),(0),(1))=bar(0) $
Ciao, Magma, ti ringrazio per la tua risposta, sulla quale tengo a dire che ho ragionato molto: a tal proposito, vorrei chiederti come sei arrivato a ridurre la matrice in quel modo, in particolare: ad $A_1$ hai sommato $A_3$, giusto? Se sì, perchè? Io ho provato sommando $A_1+A_2$ ma alla fine tra il mio e il tuo sistema ci sono piccole differenze, cruciali a quanto pare.
Grazie, ancora!
Grazie, ancora!
Certamente; metto i passaggi in ot:[ot]
$R_1 hArr R_2$
$R_3 -> R_3-R_1$
$R_4 -> R_4-2R_1$
$R_3->R_3-R_2$
$R_4->R_4-R_2$
Io invece sarei curioso di sapere come hai fatto a passare da una matrice $4xx4$ a una $4xx2$
$((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3)) $
$R_1 hArr R_2$
$((1,0,-1,2),(0,1,0,1),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3)) $
$R_3 -> R_3-R_1$
$R_4 -> R_4-2R_1$
$((1,0,-1,2),(0,1,0,1),(0,-1,0,-1),(0,-1,0,-1)) $
$R_3->R_3-R_2$
$R_4->R_4-R_2$
$((1,0,-1,2),(0,1,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0)) $
[/ot]Io invece sarei curioso di sapere come hai fatto a passare da una matrice $4xx4$ a una $4xx2$
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