Perpendicolarita' e parallelismo tra vettori
Ciao a tutti,
questa e' la prima volta che scrivo!
Ho dato uno sgaurdo un po' in giro alla ricerca di un quesito che fosse simile al mio, ma purtroppo non ho avuto le risposte che mi aspettavo, e certi passaggi nemmeno li ho capiti.
Spero che qualcuno di voi mi sappia aiutare a risolvere questo problema, perche' io non so piu' dove sbattere le testa?
Un esercizio specialmente mi e' sembrato simile al mio, che riguardava la perpendicolarita', ma a un certo punto si creava una cosa cosi':
io so che un vettore v = ( x , y ) e' perpendicolare al vettore w se w = ( - y , x ).
Cioddetto, ecco il problema che mi fa dannare:
dati i vettori di coordinate
u = ( 2, -1 )
v = ( -1, 2 )
calcolare A € R nel vettore Au + v tale che sia perpendicolare e parallelo al vettore i + j.
qual e' la logica?
io so che per la perpendicolarita' il prodotto scalare deve essere = 0, e nel parallelismo il vettoriale = 0... ma poi?
Spero che qualcuno di voi mi aiuti, e intanto vi ringrazio in anticipo!
[/chesspos]
questa e' la prima volta che scrivo!
Ho dato uno sgaurdo un po' in giro alla ricerca di un quesito che fosse simile al mio, ma purtroppo non ho avuto le risposte che mi aspettavo, e certi passaggi nemmeno li ho capiti.
Spero che qualcuno di voi mi sappia aiutare a risolvere questo problema, perche' io non so piu' dove sbattere le testa?
Un esercizio specialmente mi e' sembrato simile al mio, che riguardava la perpendicolarita', ma a un certo punto si creava una cosa cosi':
w = ( l, m , n ) ed il suo vettore perpendicolare e' z = ( l , m , [b]-n [/b]) ma perche'?
io so che un vettore v = ( x , y ) e' perpendicolare al vettore w se w = ( - y , x ).
Cioddetto, ecco il problema che mi fa dannare:
dati i vettori di coordinate
u = ( 2, -1 )
v = ( -1, 2 )
calcolare A € R nel vettore Au + v tale che sia perpendicolare e parallelo al vettore i + j.
qual e' la logica?
io so che per la perpendicolarita' il prodotto scalare deve essere = 0, e nel parallelismo il vettoriale = 0... ma poi?
Spero che qualcuno di voi mi aiuti, e intanto vi ringrazio in anticipo!
[/chesspos]
Risposte
Ciao e benvenuto. Innanzitutto le prossime domande cerca di usare il codice per scrivere le formule. Le istruzioni sono qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Per quanto riguarda il tuo quesito la risposta é semplice. Tu stai considerando vettori bidimensionali e nell'esempio che hai riportato vettori tridimensionali. La condizione di perpendicolarità non può essere identica. Prova a immaginarlo graficamente.
Un vettore nel piano individua una direzione (la retta a qui appartiene). La direzione ortogonale è unica, quella della retta ortogonale alla direzione del primo vettore.
Nello spazio tridimensionale hai una possibilità in più. Giusto per fare un esempio: considera il vettore che ha la direzione dell'asse x. Allora esistono 2 direzioni ortogonali ad esso e cioè la direzione dell'asse y e la direzione dell'asse z. Quindi nell'esempio che hai riportato come codice quello che è stato scritto è un vettore ortogonale e non il vettore ortogonale. Spero sia stato chiaro, altrimenti chiedi.
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Per quanto riguarda il tuo quesito la risposta é semplice. Tu stai considerando vettori bidimensionali e nell'esempio che hai riportato vettori tridimensionali. La condizione di perpendicolarità non può essere identica. Prova a immaginarlo graficamente.
Un vettore nel piano individua una direzione (la retta a qui appartiene). La direzione ortogonale è unica, quella della retta ortogonale alla direzione del primo vettore.
Nello spazio tridimensionale hai una possibilità in più. Giusto per fare un esempio: considera il vettore che ha la direzione dell'asse x. Allora esistono 2 direzioni ortogonali ad esso e cioè la direzione dell'asse y e la direzione dell'asse z. Quindi nell'esempio che hai riportato come codice quello che è stato scritto è un vettore ortogonale e non il vettore ortogonale. Spero sia stato chiaro, altrimenti chiedi.
ok, grazie per il link, la prossima volta usero' quella!
comunque stavo riguardando l'esercizio a cui mi riferivo, e mi sono reso conto che ho detto una scemenza: il -n di cui chiedevo spiegazione faceva parte dell'esercizio non della soluzione
grazie del benvenuto!
per il quesito, come mi consigli di ragionare? non mi interessano tanto i calcoli, ma il ragionamento perche' penso che una volta appreso il ragionamento poi possa applicarlo a tutti gli esercizi
comunque stavo riguardando l'esercizio a cui mi riferivo, e mi sono reso conto che ho detto una scemenza: il -n di cui chiedevo spiegazione faceva parte dell'esercizio non della soluzione
grazie del benvenuto!
per il quesito, come mi consigli di ragionare? non mi interessano tanto i calcoli, ma il ragionamento perche' penso che una volta appreso il ragionamento poi possa applicarlo a tutti gli esercizi
Scrivi Au+v, ne fai il prodotto scalare con i+j che non so chi sia, imponi l'uguaglianza con 0. Otterrai un'equazione di primo grado che risolta di fornisce A.
i + j e' la somma tra i due versori fondamentali del piano ! ora provo a fare come mi hai consigliato tu!
per la perpendicolarita' invece? col prodotto vettoriale ottengo un vettore. come faccio ad uguagliarlo a zero?
per la perpendicolarita' invece? col prodotto vettoriale ottengo un vettore. come faccio ad uguagliarlo a zero?
Nossignore, quello che ti ho detto è per la perpendicolarità. Per il parallelismo potresti fare la stessa cosa con il prodotto vettoriale ma è come sparare con il cannone agli uccellini. Due vettori sono paralleli se sono proporzionali.
si e' vero, sono paralleli sse l'uno e' il multiplo dell'altro. e dopo?
come potrei lavorarci?
grazie comunque per i suggerimenti che mi stai dando, pian piano sto capendo qualcosina in piu'!
quindi, i dati del problema che' ho sono i seguenti:
$\alpha$u + v = ( 2$\alpha$ - 1 , 2 - $\alpha$ )
i + j = ( 1 , 1 )
quindi?
i due vettori $\alpha$u + v e i + j sono paralleli solo se uno e' il multiplo dell'altro... e poi' ?
come potrei lavorarci?
grazie comunque per i suggerimenti che mi stai dando, pian piano sto capendo qualcosina in piu'!
quindi, i dati del problema che' ho sono i seguenti:
$\alpha$u + v = ( 2$\alpha$ - 1 , 2 - $\alpha$ )
i + j = ( 1 , 1 )
quindi?
i due vettori $\alpha$u + v e i + j sono paralleli solo se uno e' il multiplo dell'altro... e poi' ?
"SoulEdge":
come potrei lavorarci?
Non ho capito cosa vuoi sapere...
"Megan00b":
[quote="SoulEdge"]come potrei lavorarci?
Non ho capito cosa vuoi sapere...[/quote]
vorrei sapere come lavorare per sapere per quali valori di $\alpha$ il vettore $\alpha$u + v e' muliplo di i + j
ho provato a fare $\alpha$u + v/ \ i + j,
ed ottengo il vettore ( 0 , 0 , 3$\alpha$ - 3 ).
uguagliandolo = 0 (su questo non ne sono sicuro, mi sembra errato, pero' non sapendo che fare... )
3$\alpha$ - 3 = 0 ottengo che $\alpha$ = 1
mah...
ed ottengo il vettore ( 0 , 0 , 3$\alpha$ - 3 ).
uguagliandolo = 0 (su questo non ne sono sicuro, mi sembra errato, pero' non sapendo che fare... )
3$\alpha$ - 3 = 0 ottengo che $\alpha$ = 1
mah...
Ma scusa sai che vuol dire che un vettore è multiplo di un altro?
(a,b) è multiplo di (c,d) se esiste k tale che (a,b)=k(c,d) cioè a=kc e b=kd.
"Megan00b":
:o
Ma scusa sai che vuol dire che un vettore è multiplo di un altro?
(a,b) è multiplo di (c,d) se esiste k tale che (a,b)=k(c,d) cioè a=kc e b=kd.
bello, mi piace, vuoi farmi ragionare!
cosi' imparo meglio!
quello lo sapevo, ma se mi metto in mezzo k, alla fine ho sia alfa sia k e non ci capisco piu' niente
"SoulEdge":
[quote="Megan00b"]:o
Ma scusa sai che vuol dire che un vettore è multiplo di un altro?
(a,b) è multiplo di (c,d) se esiste k tale che (a,b)=k(c,d) cioè a=kc e b=kd.
bello, mi piace, vuoi farmi ragionare!
cosi' imparo meglio!
quello lo sapevo, ma se mi metto in mezzo k, alla fine ho sia alfa sia k e non ci capisco piu' niente[/quote]
io sto cercando di aiutarmi anche su google, con libri, con tutto, ma non riesco a risolverlo!!
Ciao,
tu hai scritto che:
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(1,1)$
detto ciò per avere che il primo vettore sia multiplo del secondo è sufficiente (in questo caso solo perchè i due termini del secondo vettore sono uguali tra loro) uguagliare tra loro anche i due termini del primo vettore, ossia....
$2$$\alpha$$-1$$=2-$$\alpha$.......da qui recuperi $\alpha$$=1$.
tu hai scritto che:
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(1,1)$
detto ciò per avere che il primo vettore sia multiplo del secondo è sufficiente (in questo caso solo perchè i due termini del secondo vettore sono uguali tra loro) uguagliare tra loro anche i due termini del primo vettore, ossia....
$2$$\alpha$$-1$$=2-$$\alpha$.......da qui recuperi $\alpha$$=1$.
"Alexp":
Ciao,
tu hai scritto che:
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(1,1)$
detto ciò per avere che il primo vettore sia multiplo del secondo è sufficiente (in questo caso solo perchè i due termini del secondo vettore sono uguali tra loro) uguagliare tra loro anche i due termini del primo vettore, ossia....
$2$$\alpha$$-1$$=2-$$\alpha$.......da qui recuperi $\alpha$$=1$.
grazie per la risposta.
e invece, volendo di qualcosa di piu' universale? cioe', se il vettore i + j non fosse stato ( 1 , 1 ), ma esempio ( 1 , 3 ) , come dovevo fare?
mi servirebbe qualcosa di universale da applicare a questa tipologia di esercizi. sara' pure qualcosa di insulso e stupido, ma non riesco a capirlo
PS= possibilmente usando il prodotto scalare, dato che vuole che glielo applichi il prof
PSS= domani ho l'esame di sera, e sono certo che insistera' su questo argomento dato che l'altra volta mi ha mandato via per un esercizio simile. non sai aiutarmi maggiormente per cortesia?
nessuno sa aiutarmi, per cortesia??
Ciao,
facciamo un esempio in generale, ipotiziamo che
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(a,b)$
il sistema che devi sempre impostare è
$2$$\alpha$$-1$$=a*k$
$2-$$\alpha$$=b*k$
come vedi è un sistema di due eqazioni in due incognite $\alpha$ e $k$, facilmente risolvibile, per fare un esempio più concreto poniamo che $i+j=(1,3)$
il sistema sarà:
$2$$\alpha$$-1$$=k$
$2-$$\alpha$$=3*k$
risolvendolo si ottiene $\alpha$$=5/7$ da cui si otterrà che il primo vettore ha come componenti $(3/7, 9/7)$ che come vedi è multiplo di $(1, 3)$.
Se invece vuoi usare il metodo del prodotto vettoriale per trovare il vettore parallelo, si procede così:
$| (0, 2\alpha-1, 2-\alpha),(0, 1, 3) |$$=(0, 0, 0)$ (questo perchè se due vettori sono paralleli avranno prodotto vettoriale nullo)
si otterrà: $6$$\alpha$$-3-(2-$$\alpha$$), 0, 0$, ora ponendo il primo termine uguale a zero si ottiene: $6$$\alpha$$+$$\alpha$$-5=0$ che da proprio (come nella risoluzione sopra) $\alpha$$=5/7$
Se invece volessi trovare un vettore $\bot$, allora si può usare il prodotto scalare che come sai dev'essere uguale a zero, quindi:
$(2\alpha-1, 2-\alpha)(1,3)=0$ dal quale, risolvedo, si ha $\alpha=5$, sostituendo il valore di $\alpha$ nel primo vettore di ottiene $(9,-3)$ che è $\bot$ al vettore $(1,3)$
Ti è chiaro?
facciamo un esempio in generale, ipotiziamo che
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(a,b)$
il sistema che devi sempre impostare è
$2$$\alpha$$-1$$=a*k$
$2-$$\alpha$$=b*k$
come vedi è un sistema di due eqazioni in due incognite $\alpha$ e $k$, facilmente risolvibile, per fare un esempio più concreto poniamo che $i+j=(1,3)$
il sistema sarà:
$2$$\alpha$$-1$$=k$
$2-$$\alpha$$=3*k$
risolvendolo si ottiene $\alpha$$=5/7$ da cui si otterrà che il primo vettore ha come componenti $(3/7, 9/7)$ che come vedi è multiplo di $(1, 3)$.
Se invece vuoi usare il metodo del prodotto vettoriale per trovare il vettore parallelo, si procede così:
$| (0, 2\alpha-1, 2-\alpha),(0, 1, 3) |$$=(0, 0, 0)$ (questo perchè se due vettori sono paralleli avranno prodotto vettoriale nullo)
si otterrà: $6$$\alpha$$-3-(2-$$\alpha$$), 0, 0$, ora ponendo il primo termine uguale a zero si ottiene: $6$$\alpha$$+$$\alpha$$-5=0$ che da proprio (come nella risoluzione sopra) $\alpha$$=5/7$
Se invece volessi trovare un vettore $\bot$, allora si può usare il prodotto scalare che come sai dev'essere uguale a zero, quindi:
$(2\alpha-1, 2-\alpha)(1,3)=0$ dal quale, risolvedo, si ha $\alpha=5$, sostituendo il valore di $\alpha$ nel primo vettore di ottiene $(9,-3)$ che è $\bot$ al vettore $(1,3)$
Ti è chiaro?
"Alexp":
Ciao,
facciamo un esempio in generale, ipotiziamo che
$\alpha$$u+v$$=(2$$\alpha$$-1$, $2-$$\alpha$$)$ e che $i+j=(a,b)$
il sistema che devi sempre impostare è
$2$$\alpha$$-1$$=a*k$
$2-$$\alpha$$=b*k$
come vedi è un sistema di due eqazioni in due incognite $\alpha$ e $k$, facilmente risolvibile, per fare un esempio più concreto poniamo che $i+j=(1,3)$
il sistema sarà:
$2$$\alpha$$-1$$=k$
$2-$$\alpha$$=3*k$
risolvendolo si ottiene $\alpha$$=5/7$ da cui si otterrà che il primo vettore ha come componenti $(3/7, 9/7)$ che come vedi è multiplo di $(1, 3)$.
Se invece vuoi usare il metodo del prodotto vettoriale per trovare il vettore parallelo, si procede così:
$| (0, 2\alpha-1, 2-\alpha),(0, 1, 3) |$$=(0, 0, 0)$ (questo perchè se due vettori sono paralleli avranno prodotto vettoriale nullo)
si otterrà: $6$$\alpha$$-3-(2-$$\alpha$$), 0, 0$, ora ponendo il primo termine uguale a zero si ottiene: $6$$\alpha$$+$$\alpha$$-5=0$ che da proprio (come nella risoluzione sopra) $\alpha$$=5/7$
Se invece volessi trovare un vettore $\bot$, allora si può usare il prodotto scalare che come sai dev'essere uguale a zero, quindi:
$(2\alpha-1, 2-\alpha)(1,3)=0$ dal quale, risolvedo, si ha $\alpha=5$, sostituendo il valore di $\alpha$ nel primo vettore di ottiene $(9,-3)$ che è $\bot$ al vettore $(1,3)$
Ti è chiaro?
Grazie mille, magari per voi era una fesseria, ma per me no, ora ho capito il ragionamento, grazie mille davvero!
Ho visto anche che mi hai dimostrato la perpendicolarita', grazie ancora!
Io ieri provavo ad eguagliare il modulo del prodotto vettoriale a = 0 e mi dava la stessa cosa. e' uguale fare il sistema o il modulo del prodotto vettoriale uguagliato a zero?
Un po' come mi hai dimostrato tu, trovandomi il vettore risultante perpendicolare ai due e poi calcolandomi il modulo.
PS= anche se OT... vorrei chiedere una cosa, magari qualcuno la sa e mi risponde prima di stasera che ho l'orale di matematica.
Come e' possibile dimostrare il punto medio tra due punti adoperando i vettori?
Nel quaderno gli appunti che ho preso sono pochi e non capisco alcuni passaggi.
Esempio,
Dati due punti, P1 e P2, per calcolare il punto medio, pone che:
P1M + P2M = = (vettore nullo)
perche' devono essere l'uno opposto all'altro.
ma come arrivare da qui alla formula del punto medio:
x = $\frac{Xa + Xb}{2}}
Ciao,
se hai due punti $P1$ di coordinate generiche $(a,b)$ e $P2$ di coordinate generiche $(c,d)$ essi sono ovviamente rappresentabili sotto forma vettoriale... chiamiamo $v1$ il vettore che unisce l'origine al punto $P1$ e $v2$ il vettore che unisce l'origine al punto $P2$.
Ora il punto medio non è altro che $(a+c,b+d)/2$ (come nella formula espressa da te), ma questo se noti bene equivale a $(v1+v2)/2$.
Il discorso relativo a
$P1M + P2M$ $= =$ (vettore nullo) e quindi che devono essere l'uno opposto all'altro, a me non è chiaro, bisogna vedere cosa intendeva il tuo prof.
se hai due punti $P1$ di coordinate generiche $(a,b)$ e $P2$ di coordinate generiche $(c,d)$ essi sono ovviamente rappresentabili sotto forma vettoriale... chiamiamo $v1$ il vettore che unisce l'origine al punto $P1$ e $v2$ il vettore che unisce l'origine al punto $P2$.
Ora il punto medio non è altro che $(a+c,b+d)/2$ (come nella formula espressa da te), ma questo se noti bene equivale a $(v1+v2)/2$.
Il discorso relativo a
$P1M + P2M$ $= =$ (vettore nullo) e quindi che devono essere l'uno opposto all'altro, a me non è chiaro, bisogna vedere cosa intendeva il tuo prof.
"Alexp":
Ciao,
se hai due punti $P1$ di coordinate generiche $(a,b)$ e $P2$ di coordinate generiche $(c,d)$ essi sono ovviamente rappresentabili sotto forma vettoriale... chiamiamo $v1$ il vettore che unisce l'origine al punto $P1$ e $v2$ il vettore che unisce l'origine al punto $P2$.
Ora il punto medio non è altro che $(a+c,b+d)/2$ (come nella formula espressa da te), ma questo se noti bene equivale a $(v1+v2)/2$.
Il discorso relativo a
$P1M + P2M$ $= =$ (vettore nullo) e quindi che devono essere l'uno opposto all'altro, a me non è chiaro, bisogna vedere cosa intendeva il tuo prof.
Grazie per la risposta.
Ma non ho capito che intendi per $(a+c,b+d)/2$ .
Provo a spiegarti meglio, magari capisci e sai aiutarmi.
Lui ci ha spiegato che dati due punti nel piano, ci possiamo costruire un vettore. E fin qui, ok, ma non e' quello che serve.
Lui dice che, dati due punti, possiamo costruire due vettori, un vettore che parte da un punto e un altro vettore che parte dall'altro punto, in modo tale che abbiano lo stesso modulo, la stessa direzione ma verso opposto. E questi due vettori puntino al punto medio M. Siccome il punto medio M e' medio, cio' vuol dire che la distanza $P1M$ sara' uguale alla distanza $P2M$.
E, ancor meglio, il vettore $P2M$ avra' verso opposto del vettore $P1M$ , ovvero
$P1M$ = $-P1M$ cosicche' si abbia $P1M + P2M$ = 0
Questo ragionamento l'ho capito, ma non ho capito il ragionamento che fa lui per trovare le coordinate del punto medio.
Cioe'0, lui dimostr che il punto medio e' dato da $(Xa + Xb)/2$ tramite i vettori. Mi sono spiegato oppure no?
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