Perpendicolarità e incidenza tra 2 rette

[v.quercia]

Salve ho un problema
Fissato in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano,si considerino il piano $\pi$ : x-y+z=0 e la retta r: $\{(x + y = 0),(z = 2):}$
-Si determino equazioni della retta s contenuta nel piano $\pi$ , incidente la retta r e ad essa perpendicolare.
grazie mille!!!

[Riccardo Desimini]

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[v.quercia]

nessuno sta dicendo qst.. ho iniziato l'esercizio ma mi sn bloccata! per cui se nessuno sa darmi una mano nn ci sn problemi...

[v.quercia]

ho determinato la posizione reciproca del piano e della retta. la retta incide il piano nel punto ( -1,1,2). dunque il punto (-1,1,2) appartiene alla retta cercata. affinchè le rette r e s siano perpendicolari pensavo di sfruttare la condizione per cui presi due vettori della giacitura, rispettivamente della prima e della seconda retta, il loro prodotto scalre sia nullo. per la prima retta il vettore in questione è ( 1,-1,0) e per la seconda retta ho considerato uno generico (l,m,n). effettuando il prodotto scalare posso concludere che l=m. come posso procedere? è corretto il mio ragionamento?

[Riccardo Desimini]

Giusto.

Comunque ricorda che al generico vettore di componenti $ (l,m,n) $ devi imporre anche l'appartenenza a $ \pi $. Come?

[v.quercia]

sinceramente nn so come imporre qst condizione.. sapresti aiutarmi?

[Riccardo Desimini]

Se $ (l,m,n) \in U_{\pi} $ ($ U_{\pi} $ è la giacitura di $ \pi $), allora $ l-m+n=0 $.

Quindi?

[v.quercia]

quindi piochè la giacitura del piano è {(1,1,0),(-1,0,1)} allora scrivo ( l,l,n) come combinazione lineare dei vettori della giacitura del piano. dunque (l,l,n)=a(1,1,0)+b(-1,0,1) ciò implica che $\{(l=a-b),(l=a),(n=-b):}$ quindi ricavo a=l e b=-n e sostituendo ottengo l=-n. allora (l,l,n)=(l,l,-l) ???
oppure semplicemente sostituendo nella giacitura del piano ottengo che n=0?? ( facendo l-l+n=0)

[Riccardo Desimini]

Nel primo caso hai

$ (l, l, n) = a(1,1,0)+b(-1,0,1) = (a,a,0) + (-b,0,b) = (a-b,a,b) $

Il sistema lineare associato da risolvere è allora

$ \{ (l=a-b),(l=a),(n=b) :} $

da cui

$ \{ (l=l-n),(l=a),(n=b) :} $

cioè $ n = 0 $, come confermato dalla tua seconda ipotesi (che è corretta).

[v.quercia]

e quindi qual è l'equazione della retta??

[Riccardo Desimini]

Una forma parametrica di $ s $ la ottieni imponendo il passaggio per $ Q(-1,1,2) $ e assegnando come vettore di direzione il vettore di componenti $ (1,1,0) $.