Permutazioni
Giorno a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi come svolgere esercizi sulle permutazioni? Non so proprio dove mettere le mani. Tra i compiti passati ho trovato questo esercizio : Sia $ a $ il segno della permutazione $ A =( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ),( 4 , 7 , 5 , 6 , 1 , 3 , 2 ) ) $ e sia $ b $ il segno della permutazione $ B=( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ),( 3 , 4 , 5 , 1 , 7 , 6 , 2 ) ) $ . Allora la coppia ordinata $ (a,b) $ risulta essere: $ a)$ $(+1,+1) $ , $ b)$ $ (-1,+1) $ , $ c)$ $ (+1,-1) $ , $ d)$ $ (-1,-1) $ . La risposta giusta è la d.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come impostare e svolgere un problema simile? Io personalmente ho cercato su internet ma oltre a spiegare quando assume il valore +1 /-1 non dice nulla su come impostare l'esercizio.. sapete aiutarmi? Grazie.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come impostare e svolgere un problema simile? Io personalmente ho cercato su internet ma oltre a spiegare quando assume il valore +1 /-1 non dice nulla su come impostare l'esercizio.. sapete aiutarmi? Grazie.
Risposte
Il segno della permutazione è $1$ se la permutazione si scompone in un numero pari di scambi, dispari se si scompone in un numero dispari di scambi. E' facile vedere che un $k$-ciclo ha sengno $+1$ se $k$ è dispari mentre ha segno $-1$ se $k$ è pari. Quindi una strategia che funziona sempre, anche se non sono sicuro sia la più rapida, è scomporre le permutazioni in cicli disgiunti e poi contare i segni dei singoli fattori.
Ciao Pappappero potresti farmi un piccolo esempio in cui scomponi la permutazione in k-cicli? Se capisco questo penso di poter riuscire a svolgere l'esercizio! Grazie!
Il teorema di fattorizzazione delle permutazioni è praticamente il primo risultato che si studia dopo aver capito cos'è una permutazione, perché con le scritture estese è decisamente difficile lavorare.
Comunque il procedimento da seguire è più o meno il seguente:
Prendi la permutazione $A$ del tuo esercizio. Parti da $1$ che va in $4$, che a sua volta va in $6$, poi in $3$, poi in $5$ e dunque torna in $1$. Quindi il primo ciclo di $A$ è $(1,4,6,3,5)$. Poi prendi il primo elemento che non hai ancora considerato: $2$ va in $7$ e subito torna in $2$. Quindi il secondo fattore è $(2,7)$. C'è un teorema che dice che permutazioni con supporti disgiunti commutano, e questo vuol dire che la fattorizzazione non dipende dall'elemento da cui parti a contare. Concludendo, la tua permutazione $A$ si scompone in cicli disgiunti come:
$A= (2,7)(1,4,6,3,5)$.
Il teorema che dice che ogni permutazione si può fattorizzare in cicli disgiunti è di fatto una generalizzazione di un qualsiasi esempio che ti può venire in mente. Se non hai capito bene ti consiglio di guardarla, ma prima prova a farti qualche esempio perché in effetti il dover fare tutto in generale rende la notazione abbastanza pesante e non troppo immediata.
OT. Ma perché questo post è in geometria e algebra lineare???
Comunque il procedimento da seguire è più o meno il seguente:
Prendi la permutazione $A$ del tuo esercizio. Parti da $1$ che va in $4$, che a sua volta va in $6$, poi in $3$, poi in $5$ e dunque torna in $1$. Quindi il primo ciclo di $A$ è $(1,4,6,3,5)$. Poi prendi il primo elemento che non hai ancora considerato: $2$ va in $7$ e subito torna in $2$. Quindi il secondo fattore è $(2,7)$. C'è un teorema che dice che permutazioni con supporti disgiunti commutano, e questo vuol dire che la fattorizzazione non dipende dall'elemento da cui parti a contare. Concludendo, la tua permutazione $A$ si scompone in cicli disgiunti come:
$A= (2,7)(1,4,6,3,5)$.
Il teorema che dice che ogni permutazione si può fattorizzare in cicli disgiunti è di fatto una generalizzazione di un qualsiasi esempio che ti può venire in mente. Se non hai capito bene ti consiglio di guardarla, ma prima prova a farti qualche esempio perché in effetti il dover fare tutto in generale rende la notazione abbastanza pesante e non troppo immediata.
OT. Ma perché questo post è in geometria e algebra lineare???
Esiste anche un metodo grafico divertente 
Si tratta di collegare fra loro i numeri uguali e poi contare gli incroci. Se il numero di incroci è pari allora la permutazione è pari, altrimenti è dispari. Così:
15 incroci, la permutazione è dispari.
Si tratta di collegare fra loro i numeri uguali e poi contare gli incroci. Se il numero di incroci è pari allora la permutazione è pari, altrimenti è dispari. Così:15 incroci, la permutazione è dispari.
Grazie mille ad entrambi per le risposte chiare ed esaustive! Oggi faro' degli esercizi anche se penso di aver capito! Thanks! 
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